Considere [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]
e o polinômio [tex3]p(x) = −12x^{4} + 32x^{3} − 15x^{2} − 3x + 2.[/tex3]
(a) Sabendo que [tex3]p(x)[/tex3]
possui apenas uma raiz inteira, encontre essa raiz.
(b) Sabendo que [tex3]p(x)[/tex3]
possui pelo menos uma raiz racional não inteira, encontre essa raiz.
(c) Encontre todas as raízes reais de [tex3]p(x).[/tex3]
(d) Fatore o polinômio [tex3]p(x) −12x^{4} + 16x^{3} + 17x^{2} − x − 2. [/tex3]
(e) Usando a fatoração de [tex3]p(x),[/tex3]
analise o seu sinal.
Ensino Superior ⇒ (CEDERJ UFF) Pré-cálculo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2020
01
16:14
(CEDERJ UFF) Pré-cálculo
Última edição: MateusQqMD (Dom 01 Mar, 2020 16:33). Total de 1 vez.
Razão: retirar letras maiúsculas do título (regra 7).
Razão: retirar letras maiúsculas do título (regra 7).
-
deOliveira 
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Mar 2020
01
17:03
Re: CEDERJ UFF- PRÉ CALCULO
a) Por inspeção temos que a raiz inteira do polinômio é [tex3]2[/tex3]
.
Dessa forma, [tex3]p[/tex3] é divisível por [tex3]x-2[/tex3] .
Fendo a divisão temos que [tex3]p(x)=(x-2)(-12x^3+8x^2+x-1)[/tex3]
b) Mais uma vez por inspeção temos que [tex3]x=\frac12[/tex3] é raiz de [tex3](-12x^3+8x^2+x-1)[/tex3] e consequentemente raiz de [tex3]p[/tex3] .
E fazendo a divisão por [tex3]2x-1[/tex3] temos:
[tex3]p(x)=(x-2)(2x-1)(-6x^2+x+1)[/tex3]
c) Para encontrar as outras raízes de [tex3]p[/tex3] temos de encontrar as raízes de [tex3]-6x^2+x+1[/tex3]
[tex3]-6x^2+x+1=0\\
\Delta=1-4(-6)=25\\x=\frac{-1\pm5}{-12}\\x'=\frac12 \\ x''=-\frac13[/tex3]
Então as raízes são [tex3]2,\ \frac12,\ -\frac13[/tex3] em que [tex3]\frac12[/tex3] tem multiplicidade igual a dois.
d) [tex3]p(x)=-12x^4+16x^3+17x^2-x-2[/tex3] por inspeção [tex3]x=2[/tex3] é raiz.
Logo, podemos fazer a divisão por [tex3]x-2[/tex3] e teremos:
[tex3]p(x)=(x-2)(-12x^3-8x^2+x+1)[/tex3]
Temos também por inspeção que [tex3]x=\frac13[/tex3] é raiz, logo:
[tex3]p(x)=(x-2)(3x-1)(-4x^2+4x-1)\\p(x)=-(x-2)(3x-1)(2x-1)^2[/tex3]
e) [tex3](2x-1)^2\ge 0 \ \forall x\in\mathbb R[/tex3]
[tex3]3x-1<0,\ se\ x<\frac13[/tex3] e [tex3]3x-1>0,\ se\ x>\frac13[/tex3]
[tex3]x-2<0,\ se\ x<2[/tex3] e [tex3]x-2>0,\ se\ x>2[/tex3]
Então temos: (perdoe a péssima qualidade da foto)
E portanto:
[tex3]p(x)\leq0[/tex3] para [tex3]x\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup(2,+\infty)[/tex3]
[tex3]p(x)\geq 0[/tex3] para [tex3]x\in\left(\frac13,2\right)[/tex3]
Espero ter ajudado
.
Dessa forma, [tex3]p[/tex3] é divisível por [tex3]x-2[/tex3] .
Fendo a divisão temos que [tex3]p(x)=(x-2)(-12x^3+8x^2+x-1)[/tex3]
b) Mais uma vez por inspeção temos que [tex3]x=\frac12[/tex3] é raiz de [tex3](-12x^3+8x^2+x-1)[/tex3] e consequentemente raiz de [tex3]p[/tex3] .
E fazendo a divisão por [tex3]2x-1[/tex3] temos:
[tex3]p(x)=(x-2)(2x-1)(-6x^2+x+1)[/tex3]
c) Para encontrar as outras raízes de [tex3]p[/tex3] temos de encontrar as raízes de [tex3]-6x^2+x+1[/tex3]
[tex3]-6x^2+x+1=0\\
\Delta=1-4(-6)=25\\x=\frac{-1\pm5}{-12}\\x'=\frac12 \\ x''=-\frac13[/tex3]
Então as raízes são [tex3]2,\ \frac12,\ -\frac13[/tex3] em que [tex3]\frac12[/tex3] tem multiplicidade igual a dois.
d) [tex3]p(x)=-12x^4+16x^3+17x^2-x-2[/tex3] por inspeção [tex3]x=2[/tex3] é raiz.
Logo, podemos fazer a divisão por [tex3]x-2[/tex3] e teremos:
[tex3]p(x)=(x-2)(-12x^3-8x^2+x+1)[/tex3]
Temos também por inspeção que [tex3]x=\frac13[/tex3] é raiz, logo:
[tex3]p(x)=(x-2)(3x-1)(-4x^2+4x-1)\\p(x)=-(x-2)(3x-1)(2x-1)^2[/tex3]
e) [tex3](2x-1)^2\ge 0 \ \forall x\in\mathbb R[/tex3]
[tex3]3x-1<0,\ se\ x<\frac13[/tex3] e [tex3]3x-1>0,\ se\ x>\frac13[/tex3]
[tex3]x-2<0,\ se\ x<2[/tex3] e [tex3]x-2>0,\ se\ x>2[/tex3]
Então temos: (perdoe a péssima qualidade da foto)
- WhatsApp Image 2020-03-01 at 17.00.17.jpeg (13.1 KiB) Exibido 1118 vezes
E portanto:
[tex3]p(x)\leq0[/tex3] para [tex3]x\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup(2,+\infty)[/tex3]
[tex3]p(x)\geq 0[/tex3] para [tex3]x\in\left(\frac13,2\right)[/tex3]
Espero ter ajudado
.Saudações.
Mar 2020
01
17:49
Re: (CEDERJ UFF) Pré-cálculo
Apenas complementando a ótima resolução da deOliveira.
Para demonstrar a inspeção das raízes utilize o teorema das raízes racionais:
Seja o polinômio onde todos os coeficientes an são inteiros: [tex3]a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_2x^2 + a_1x + a_ 0 = 0[/tex3] podemos pesquisar as raízes:[tex3]\pm \frac{divisores~de~a_0}{divisores~de~a_1}\\
\therefore a_0=2, a_n=12\rightarrow \frac{1,2}{1,2,3,4,6,12}\\
possíceis~raízes:\pm (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},2,\frac{2}{3}) [/tex3]
[tex3]\mathsf{}[/tex3]
Para demonstrar a inspeção das raízes utilize o teorema das raízes racionais:
Seja o polinômio onde todos os coeficientes an são inteiros: [tex3]a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_2x^2 + a_1x + a_ 0 = 0[/tex3] podemos pesquisar as raízes:[tex3]\pm \frac{divisores~de~a_0}{divisores~de~a_1}\\
\therefore a_0=2, a_n=12\rightarrow \frac{1,2}{1,2,3,4,6,12}\\
possíceis~raízes:\pm (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},2,\frac{2}{3}) [/tex3]
[tex3]\mathsf{}[/tex3]
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