Podem ajudar com estas questões?
Atenção: Considere o paralelogramo NPQR para responder as questões 1, 2, e 3.
1) Seja o vetor QN=(10,2) e o ponto M=(1,-2) o ponto médio da diagonal QN. Encontre as coordenadas dos vértices Q e N.
2) Se o vetor NP é paralelo ao vetor ~v=(2,-3) encontre a equação cartesiana da reta que contém os vértices N e P.
3) Se a reta [tex3]s: \begin{cases}x=-1+3t \\ y=1+4t \end{cases}, \,\,\forall y\in\mathbb{R}[/tex3]
, contém os vértices Q e P, determine as coordenadas dos vértices P e R.
−−→
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Ensino Superior ⇒ Geometria analítica - vetores Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2020
21
08:20
Geometria analítica - vetores
Última edição: caju (Sex 21 Fev, 2020 09:54). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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Fev 2020
21
22:53
Re: Geometria analítica - vetores
1) [tex3]Q=(a,b)[/tex3]
[tex3]\vec{QN}=N-Q=(c-a,d-b)=(10,2)\\M=\left(\frac{a+c}2,\frac{b+d}2\right)=(1,-2)\\\implies\begin{cases}c-a=10\\d-b=2\\a+c=2\\b+d=-4\end{cases}[/tex3]
Com a primeira e a terceira equação temos:
[tex3]a=-4[/tex3] e [tex3]c=6[/tex3]
Com a segunda e a quarta equação temos:
[tex3]b=-3[/tex3] e [tex3]d=-1[/tex3]
[tex3]\therefore\boxed{Q=(-4,-3),\ N=(6,-1)}[/tex3] .
2) Se [tex3]\vec{NP}[/tex3] é paravelo ao vetor [tex3]\vec v=(2,-3)[/tex3] temos que [tex3]\vec v[/tex3] é um vetor diretor da reta [tex3]r[/tex3] que passa por [tex3]N[/tex3] e [tex3]P[/tex3] .
Então temos:
[tex3]r:(x,y)=N+\lambda v\\r:(x,y)=(6,-1)+\lambda(2,-3)\\\implies r:\begin{cases}x=6+2\lambda\\y=-1-3\lambda\end{cases}\\\implies r:\begin{cases}3x=18+6\lambda\\2y=-2-6\lambda\\\end{cases}\\\implies r:3x+2y=16\\\therefore\boxed{r:3x+2y-16=0}[/tex3]
3) [tex3]s: \begin{cases}x=-1+3t \\ y=1+4t \end{cases}, \,\,\forall t\in\mathbb{R}[/tex3] contém os vértices [tex3]Q[/tex3] e [tex3]P[/tex3] .
Com a reta [tex3]r:3x+2y-16=0[/tex3] contém [tex3]P[/tex3] temos que a [tex3]r\cap s= P[/tex3]
Vamos então escrever [tex3]s[/tex3] na forma cartesiana:
[tex3]s: \begin{cases}x=-1+3t \\ y=1+4t \end{cases}\\\implies s:\begin{cases}4x=-4+12t\\-3y=-3-12t\\\end{cases}\\\implies s:4x-3y=-7[/tex3]
Para encontrar [tex3]P[/tex3] temos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}3x+2y-16=0\\4x-3y=-7\end{cases}\\\implies\begin{cases}-12x-8y+64=0\\12x-9y+21=0\end{cases}\\\implies -17y+85=0\\\implies y=5\\\implies x=2\\\implies P=(2,5)[/tex3]
Como [tex3]NPQR[/tex3] é um paralelogramos temos que:
[tex3]\vec{PR}=2\vec{PM}\\R-P=2\vec{PM}\\R=P+2\vec{PM}\\R=(2,5)+2(-1,-7)\\R=(0,-9)[/tex3]
Outra forma de encontrar [tex3]R[/tex3] é com [tex3]\vec{QP}=\vec{RN}[/tex3] .
[tex3]\therefore\boxed{P=(2,5),\ R=(0,-9)}[/tex3]
Espero ter ajudado .
[tex3]N=(c,d)[/tex3]
[tex3]\vec{QN}=N-Q=(c-a,d-b)=(10,2)\\M=\left(\frac{a+c}2,\frac{b+d}2\right)=(1,-2)\\\implies\begin{cases}c-a=10\\d-b=2\\a+c=2\\b+d=-4\end{cases}[/tex3]
Com a primeira e a terceira equação temos:
[tex3]a=-4[/tex3] e [tex3]c=6[/tex3]
Com a segunda e a quarta equação temos:
[tex3]b=-3[/tex3] e [tex3]d=-1[/tex3]
[tex3]\therefore\boxed{Q=(-4,-3),\ N=(6,-1)}[/tex3] .
2) Se [tex3]\vec{NP}[/tex3] é paravelo ao vetor [tex3]\vec v=(2,-3)[/tex3] temos que [tex3]\vec v[/tex3] é um vetor diretor da reta [tex3]r[/tex3] que passa por [tex3]N[/tex3] e [tex3]P[/tex3] .
Então temos:
[tex3]r:(x,y)=N+\lambda v\\r:(x,y)=(6,-1)+\lambda(2,-3)\\\implies r:\begin{cases}x=6+2\lambda\\y=-1-3\lambda\end{cases}\\\implies r:\begin{cases}3x=18+6\lambda\\2y=-2-6\lambda\\\end{cases}\\\implies r:3x+2y=16\\\therefore\boxed{r:3x+2y-16=0}[/tex3]
3) [tex3]s: \begin{cases}x=-1+3t \\ y=1+4t \end{cases}, \,\,\forall t\in\mathbb{R}[/tex3] contém os vértices [tex3]Q[/tex3] e [tex3]P[/tex3] .
Com a reta [tex3]r:3x+2y-16=0[/tex3] contém [tex3]P[/tex3] temos que a [tex3]r\cap s= P[/tex3]
Vamos então escrever [tex3]s[/tex3] na forma cartesiana:
[tex3]s: \begin{cases}x=-1+3t \\ y=1+4t \end{cases}\\\implies s:\begin{cases}4x=-4+12t\\-3y=-3-12t\\\end{cases}\\\implies s:4x-3y=-7[/tex3]
Para encontrar [tex3]P[/tex3] temos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}3x+2y-16=0\\4x-3y=-7\end{cases}\\\implies\begin{cases}-12x-8y+64=0\\12x-9y+21=0\end{cases}\\\implies -17y+85=0\\\implies y=5\\\implies x=2\\\implies P=(2,5)[/tex3]
Como [tex3]NPQR[/tex3] é um paralelogramos temos que:
[tex3]\vec{PR}=2\vec{PM}\\R-P=2\vec{PM}\\R=P+2\vec{PM}\\R=(2,5)+2(-1,-7)\\R=(0,-9)[/tex3]
Outra forma de encontrar [tex3]R[/tex3] é com [tex3]\vec{QP}=\vec{RN}[/tex3] .
[tex3]\therefore\boxed{P=(2,5),\ R=(0,-9)}[/tex3]
Espero ter ajudado .
Saudações.
Fev 2020
29
12:13
Re: Geometria analítica - vetores
muito obrigado por sua ajuda viu
segue o restante da questão consegue elucidar
Questão 4 : Dados os pontos A = (1,−3) e B = (4,1). Determine as coordenadas do ponto
−→ −→
C tais que o vetor ~u = AC é perpendicular ao vetor ~v = AB tal que k ~u k= 10. (Duas soluções)
Questão 5 : Encontre o ponto de tangência entre a reta l : x − y + 1 = 0 e o círculo de centro C = (1,−2) e raio r = d(C,T), onde T = (3,0).
segue o restante da questão consegue elucidar
Questão 4 : Dados os pontos A = (1,−3) e B = (4,1). Determine as coordenadas do ponto
−→ −→
C tais que o vetor ~u = AC é perpendicular ao vetor ~v = AB tal que k ~u k= 10. (Duas soluções)
Questão 5 : Encontre o ponto de tangência entre a reta l : x − y + 1 = 0 e o círculo de centro C = (1,−2) e raio r = d(C,T), onde T = (3,0).
Última edição: Erwin (Sáb 29 Fev, 2020 12:14). Total de 1 vez.
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