Ensino Superior ⇒ Equação geral do plano Tópico resolvido

[marcosaug]

Determine a equação geral do plano que intercepta os eixo y e z em segmentos de
comprimento 2 e 2 e passa pelo ponto A = (1, 3, −3).

Resposta

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[tex3]2x+y+z-2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+y+z-2=0[/tex3]

[Deleted User 23699]

Olá amigo...
Primeiramente temos que ter na cabeça a característica de uma equação de plano:
ax + by + cz + d = 0
Ele nos disse que esse plano passa por
(0,2,0) (0,0,2) (1,3,-3)
Primeira coisa que pensei foi substituir esses pontos na equação, todavia apenas conseguimos algumas informações fazendo isso:
a = -d
b = c

Talvez algum batalhador consiga fazer algo com isso e talvez eu tenha deixado passar a resolução...
Mas resolvi dessa forma:

Sei que três pontos não colineares definem um plano. Isso é um dos princípios que rege a geometria plana.
Então, existe, com certeza, alguma forma de definir a equação de um plano sabendo apenas a coordenada desses três pontos não colineares: e essas coordenadas a gente tem.

No livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, do Jacir Venturi, ele nos mostra como calcular essa equação de plano partindo das coordenadas de três pontos.

Como muita coisa em Geometria Analítica, temos que ir para o lado das matrizes. Seja P1 (x1, y1, z1) , P2 (x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3) os três pontos não colineares que definem nosso plano.
A equação do plano é dada por:

[tex3]det\begin{pmatrix}
x-x1 & y-y1 & z-z1 \\
x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 \\
x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 \\
\end{pmatrix} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]det\begin{pmatrix}
x-x1 & y-y1 & z-z1 \\
x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 \\
x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 \\
\end{pmatrix} = 0[/tex3]

Substituindo os valores que temos de coordenadas, encontramos a equação

4x + 2y + 2z - 4 = 0

Que respeita o que encontramos por sistema lá em cima (a = -d e b = c)
Por questões de costumes, deixamos os menores coeficientes possíveis

2x + y + z - 2 = 0

Pronto!
Cabe destacar que esse livro do Jacir Venturi, notável da UFPR, também define equações gerais para planos partindo de:
1. um ponto e dois vetores
2. dois pontos e um vetor
3. três pontos não colineares
4. equação segmentária de planos
5. equação de plano que passa por um ponto e é ortogonal a um vetor dado
6. casos especiais da equação geral do plano
Vale a pena conferir.

Abs.

[marcosaug]

Olá amigo, agradeço pela solução. Só tenho somente uma dúvida não entendi a parte da substituição nas matrizes, oque seria x y z......x3 y3 z3 ?

[Deleted User 23699]

X y e z, sem indices, sao as variáveis que vao aparecer na equaçao geral do plano obtida.

Eq geral do plano:
ax + by + cz + d = 0

X1 y1 z1 sao as coordenadas de um dos pontos que formam o plano
X2 y2 z2 sao as coordenadas de outro ponto que forma o plano
X3 y3 z3 sao as coordenadas de outro ponto que forma o plano