Alguém poderia me ajudar nesse exercício?! Desde já agradeço.
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}dx[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integrais das funções racionais Tópico resolvido
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carolribeirom 
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Fev 2020
16
16:34
Integrais das funções racionais
Última edição: caju (Dom 16 Fev, 2020 18:26). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
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Cardoso1979 
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Fev 2020
16
18:00
Re: Integrais das funções racionais
Observe
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}dx=\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x.(x-2)^2}dx[/tex3]
Para essa integral, procederemos assim
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2} \ ( I )[/tex3]
Temos que
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{A(x-2)^2+B(x)(x-2)+Cx}{x.(x-2)^2} [/tex3]
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)}=\frac{A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx}{x.(x-2)^2} [/tex3]
[tex3]\frac{0.x^2+1.x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{(A+B).x^2+(C-4A-2B).x+(4A)}{x.(x-2)^2} [/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
C-4A-2B=1 \\
4A=-8
\end{cases}[/tex3]
Desenvolvendo o sistema acima , você irá encontrar A = - 2 , B = 2 e C = - 3 que ao substituirmos em ( I ) , resultará em
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=-\frac{2}{x}+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{(x-2)^2} [/tex3]
Passando a integral nos membros, fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x.(x-2)^2}dx=-2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx-3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x-2)^2}dx[/tex3]
Obs. Para a integral [tex3]-3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x-2)^2}dx[/tex3] você usará a substituição u = x - 2.
Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}dx
=-2ln(|x|)+2ln(|x-2|)+\frac{3}{x-2}+C[/tex3]
Bons estudos!
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}dx=\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x.(x-2)^2}dx[/tex3]
Para essa integral, procederemos assim
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2} \ ( I )[/tex3]
Temos que
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{A(x-2)^2+B(x)(x-2)+Cx}{x.(x-2)^2} [/tex3]
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)}=\frac{A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx}{x.(x-2)^2} [/tex3]
[tex3]\frac{0.x^2+1.x-8}{x.(x-2)^2}=\frac{(A+B).x^2+(C-4A-2B).x+(4A)}{x.(x-2)^2} [/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
C-4A-2B=1 \\
4A=-8
\end{cases}[/tex3]
Desenvolvendo o sistema acima , você irá encontrar A = - 2 , B = 2 e C = - 3 que ao substituirmos em ( I ) , resultará em
[tex3]\frac{x-8}{x.(x-2)^2}=-\frac{2}{x}+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{(x-2)^2} [/tex3]
Passando a integral nos membros, fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x.(x-2)^2}dx=-2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx-3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x-2)^2}dx[/tex3]
Obs. Para a integral [tex3]-3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x-2)^2}dx[/tex3] você usará a substituição u = x - 2.
Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x-8}{x^3-4x^2+4x}dx
=-2ln(|x|)+2ln(|x-2|)+\frac{3}{x-2}+C[/tex3]
Bons estudos!
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