Alguém poderia me ajudar nessa integral ? agradeço muito.
[tex3]\int\frac{xdx}{(x+1)(x+3)(x+5)}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integrais das Funções Racionais Tópico resolvido
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carolribeirom 
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Fev 2020
16
16:30
Integrais das Funções Racionais
Última edição: caju (Dom 16 Fev, 2020 18:34). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex na expressão matemática.
Razão: colocar tex na expressão matemática.
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Cardoso1979 
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Fev 2020
16
18:32
Re: Integrais das Funções Racionais
Observe
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx[/tex3]
Para essa integral, procederemos assim
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x+5} \ ( I )[/tex3]
Temos que
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A(x+3)(x+5)+B(x+1)(x+5)+C(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A(x^2+8x+15)+B(x^2+6x+5)+C(x^2+4x+3)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
[tex3]\frac{0.x^2+1.x+0}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{(A+B+C).x^2+(8A+6B+4C).x+(15A+5B+3C)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B+C=0 \\
8A+6B+4C=1 \\
15A+5B+3C=0
\end{cases}[/tex3]
Desenvolvendo o sistema acima , você irá encontrar A = [tex3]-\frac{1}{8}[/tex3] , B
= [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] e C = [tex3]-\frac{5}{8}[/tex3] que ao substituirmos em ( I ) , resultará em
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{-\frac{1}{8}}{x+1}+\frac{\frac{3}{4}}{x+3}+\frac{-\frac{5}{8}}{x+5} [/tex3]
Passando a integral nos membros, fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx=-\frac{1}{8}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+1}dx+\frac{3}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+3}dx-\frac{5}{8}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+5}dx[/tex3]
Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx
=-\frac{1}{8}ln(|x+1|)+\frac{3}{4}ln(|x+3|)-\frac{5}{8}ln(|x+5|)+C[/tex3]
Bons estudos!
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx[/tex3]
Para essa integral, procederemos assim
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x+5} \ ( I )[/tex3]
Temos que
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A(x+3)(x+5)+B(x+1)(x+5)+C(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{A(x^2+8x+15)+B(x^2+6x+5)+C(x^2+4x+3)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
[tex3]\frac{0.x^2+1.x+0}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{(A+B+C).x^2+(8A+6B+4C).x+(15A+5B+3C)}{(x+1)(x+3)(x+5)} [/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B+C=0 \\
8A+6B+4C=1 \\
15A+5B+3C=0
\end{cases}[/tex3]
Desenvolvendo o sistema acima , você irá encontrar A = [tex3]-\frac{1}{8}[/tex3] , B
= [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] e C = [tex3]-\frac{5}{8}[/tex3] que ao substituirmos em ( I ) , resultará em
[tex3]\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\frac{-\frac{1}{8}}{x+1}+\frac{\frac{3}{4}}{x+3}+\frac{-\frac{5}{8}}{x+5} [/tex3]
Passando a integral nos membros, fica;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx=-\frac{1}{8}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+1}dx+\frac{3}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+3}dx-\frac{5}{8}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+5}dx[/tex3]
Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{(x+1)(x+3)(x+5)}dx
=-\frac{1}{8}ln(|x+1|)+\frac{3}{4}ln(|x+3|)-\frac{5}{8}ln(|x+5|)+C[/tex3]
Bons estudos!
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