Ensino SuperiorAnálise Real- Limites Laterais Tópico resolvido

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deOliveira
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Jan 2020 20 01:25

Análise Real- Limites Laterais

Mensagem não lida por deOliveira »

Sejam [tex3]f:X\rightarrow \mathbb R[/tex3] monótona e [tex3]a\in X'_{+}[/tex3] . Prove que se existir uma sequência de pontos [tex3]x_n\in X[/tex3] com [tex3]x_n>a[/tex3] , [tex3]\lim x_n=a[/tex3] e [tex3]\lim f(x_n)=L[/tex3] então [tex3]\lim_{x\to a^+}f(x)=L[/tex3] .



Saudações.

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Cardoso1979
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Jan 2020 20 08:46

Re: Análise Real- Limites Laterais

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma prova:

Suponha f não decrescente, vamos mostrar que C = { f( x ) , x ∈ R , x > a } é um conjunto limitado inferiormente . Dado x arbitrário e fixo tal que x > a existe [tex3]x_{n}>a[/tex3] que satisfaz [tex3]x>x_{n}>a[/tex3] , pois [tex3]lim \ x_{n}=a[/tex3] , f não decrescente implica [tex3]f(x)≥f(x_{n})[/tex3] , como [tex3](f(x_{n}))[/tex3] é convergente, vale que tal sequência é limitada inferiormente, portanto existe K tal que [tex3]f(x_{n})>K[/tex3] ∀n ∈ N daí [tex3]f(x)≥f(x_{n})>K[/tex3] para f( x ) ∈ C arbitrário, logo C é limitado inferiormente. Por C ser limitado inferiormente ele possui ínfimo.

Seja L' = inf C = inf { f( x ) , x ∈ R , x > a } , vale que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L'[/tex3] , disso segue pelo critério de sequências para limite lateral que [tex3]lim \ f(x_{n})=L'=L[/tex3] , pela unicidade de limite , portanto [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a^+}f(x)=L[/tex3] . C.q.p.



Bons estudos!




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