Dado arbitrariamente [tex3]a\in(0,1][/tex3]
Sugestão do livro: Mostre primeiro que, dado um número da forma [tex3]a=m/3^n[/tex3]
(que na base 3 tem desenvolvimento finito), existem [tex3]x,y\in K[/tex3]
tais que [tex3]x-y=a[/tex3]
. Depois note que, sendo [tex3]K[/tex3]
compacto, o conjunto [tex3]D[/tex3]
dos números [tex3]|x-y|[/tex3]
, com [tex3]x,y\in K[/tex3]
, é compacto. Como as frações [tex3]m/3^n[/tex3]
são densas em [tex3][0,1][/tex3]
, segue-se que [tex3]D=[0,1][/tex3]
.
, prove que existem [tex3]x< y[/tex3]
pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que [tex3]y-x=a[/tex3]
.Ensino Superior ⇒ Conjunto de Cantor Tópico resolvido
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Jan 2020
17
15:48
Re: Conjunto de Cantor
Observe
Como ele deu a sugestão acima, então vamos utilizá-la.
Prova:
Dado [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] , existem x , y [tex3]\in [/tex3] K tais que x - y = a , pois se [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] é extremo de intervalo removido que pertence ao conjunto de Cantor, então tomamos y = 0 [tex3]\in [/tex3] K e x = a. Caso contrário [tex3]a=\sum_{K=1}^{S}\frac{x_{K}}{3^K}[/tex3] , podemos sempre arranjar y finito formado por algarismos [tex3]x_{K}[/tex3] sendo 0 ou 2 ( ou no máximo o último algarismo sendo 1 )tal que a soma y + a também seja elemento do conjunto de Cantor, por exemplo a = 0,1212 , tomamos y de forma conveniente para que a soma seja um elemento do conjunto de Cantor, escolhendo os algarismos que devem ser somados, nesse caso podemos tomar y = 0,0020.
Definimos agora o conjunto D = { | x - y | , x , y [tex3]\in [/tex3] K } , tal conjunto é limitado, pois vale | x - y | ≤ | x | + | y | ≤ 1 + 1 = 2 por x e y serem elementos do conjunto de Cantor que é limitado. Agora iremos mostrar que tal conjunto é fechado, seja ( [tex3]w_{n}[/tex3] ) uma sequência convergente nesse conjunto, vamos mostrar que o limite da sequência pertence ao conjunto, [tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=K\in D[/tex3] . Como o conjunto de Cantor é limitado as sequências ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) e ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) são limitadas, logo possuem subsequências convergentes, passando para estas subsequência denotando ainda por ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) , ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) elas convergem para elementos [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] no conjunto de Cantor ( pelo fato de tal conjunto ser fechado ) , temos então que
[tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3] . Assim , existem [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] [tex3]\in [/tex3] K tais que [tex3]|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3] limite de uma sequência arbitrária de pontos de D, logo D é fechado. O conjunto das frações do tipo [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] ( que são elementos de D ) é denso em [ 0 , 1 ] , disso segue que também D é denso em [ 0 , 1 ] , sendo conjunto fechado concluímos que D = [ 0 , 1 ] , portanto para qualquer valor de a [tex3]\in [/tex3] ( 0 , 1 ] existem x , y no conjunto de Cantor, tais que y - x = a. C.q.p.
Bons estudos!
Como ele deu a sugestão acima, então vamos utilizá-la.
Prova:
Dado [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] , existem x , y [tex3]\in [/tex3] K tais que x - y = a , pois se [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] é extremo de intervalo removido que pertence ao conjunto de Cantor, então tomamos y = 0 [tex3]\in [/tex3] K e x = a. Caso contrário [tex3]a=\sum_{K=1}^{S}\frac{x_{K}}{3^K}[/tex3] , podemos sempre arranjar y finito formado por algarismos [tex3]x_{K}[/tex3] sendo 0 ou 2 ( ou no máximo o último algarismo sendo 1 )tal que a soma y + a também seja elemento do conjunto de Cantor, por exemplo a = 0,1212 , tomamos y de forma conveniente para que a soma seja um elemento do conjunto de Cantor, escolhendo os algarismos que devem ser somados, nesse caso podemos tomar y = 0,0020.
Definimos agora o conjunto D = { | x - y | , x , y [tex3]\in [/tex3] K } , tal conjunto é limitado, pois vale | x - y | ≤ | x | + | y | ≤ 1 + 1 = 2 por x e y serem elementos do conjunto de Cantor que é limitado. Agora iremos mostrar que tal conjunto é fechado, seja ( [tex3]w_{n}[/tex3] ) uma sequência convergente nesse conjunto, vamos mostrar que o limite da sequência pertence ao conjunto, [tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=K\in D[/tex3] . Como o conjunto de Cantor é limitado as sequências ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) e ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) são limitadas, logo possuem subsequências convergentes, passando para estas subsequência denotando ainda por ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) , ( [tex3]y_{n}[/tex3] ) elas convergem para elementos [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] no conjunto de Cantor ( pelo fato de tal conjunto ser fechado ) , temos então que
[tex3]lim \ w_{n}=lim \ |x_{n}-y_{n}|=|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3] . Assim , existem [tex3]x_{0}[/tex3] , [tex3]y_{0}[/tex3] [tex3]\in [/tex3] K tais que [tex3]|x_{0}-y_{0}|=t[/tex3] limite de uma sequência arbitrária de pontos de D, logo D é fechado. O conjunto das frações do tipo [tex3]a=\frac{m}{3^n}[/tex3] ( que são elementos de D ) é denso em [ 0 , 1 ] , disso segue que também D é denso em [ 0 , 1 ] , sendo conjunto fechado concluímos que D = [ 0 , 1 ] , portanto para qualquer valor de a [tex3]\in [/tex3] ( 0 , 1 ] existem x , y no conjunto de Cantor, tais que y - x = a. C.q.p.
Bons estudos!
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Jan 2020
17
17:30
Re: Conjunto de Cantor
Cardoso1979, muito obrigada!
Você sempre me ajuda bastante.
Você sempre me ajuda bastante.
Saudações.
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Jan 2020
19
10:19
Re: Conjunto de Cantor
Disponha!! Estou aqui para ajudar, sempre que eu souber é clarodeOliveira escreveu: ↑Sex 17 Jan, 2020 17:30Cardoso1979, muito obrigada!
Você sempre me ajuda bastante.
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