Ensino Superiorlimites Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

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Felipe22
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Jan 2020 14 09:28

limites

Mensagem não lida por Felipe22 »

(UF-PI) - Se lim x->0 ([tex3]\frac{sen x}{x})[/tex3] = 1, então o valor de lim x->0 ([tex3]\frac{sen(\sqrt{2}x}{x}[/tex3] )^x+2 é:
a) 2
b) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
c) 1
d) 1/2
e) [tex3]\sqrt{2}[/tex3] /2

gab: A




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Cardoso1979
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Jan 2020 14 11:39

Re: limites

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Ôpa! Essa é do meu estado🤩

Solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}[\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{2}]=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{2}.1.\sqrt{2}.1=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{4}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=[/tex3]

Agora , vamos determinar [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3] , temos

[tex3]L=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]

Aplicando ln em ambos os membros, fica;

[tex3]ln(L)=ln[\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}][/tex3]

[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]

[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}[x.ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)][/tex3]

[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}x.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{2}sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\sqrt{2}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2}.1)[/tex3]

[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2})[/tex3]

ln( L ) = 0

[tex3]L=e^{0}[/tex3]

L = 1

Então,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=1.2=2[/tex3]


Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=2[/tex3] , alternativa a).



Bons estudos!




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Felipe22
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Jan 2020 14 11:50

Re: limites

Mensagem não lida por Felipe22 »

kkkk....
obg mestre!



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Cardoso1979
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Jan 2020 14 11:51

Re: limites

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Felipe22 escreveu:
Ter 14 Jan, 2020 11:50
kkkk....
obg mestre!
Disponha 👍




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