(UF-PI) - Se lim x->0 ([tex3]\frac{sen x}{x})[/tex3]
a) 2
b) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
c) 1
d) 1/2
e) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
/2
gab: A
= 1, então o valor de lim x->0 ([tex3]\frac{sen(\sqrt{2}x}{x}[/tex3]
)^x+2 é:Ensino Superior ⇒ limites Tópico resolvido
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Jan 2020
14
11:39
Re: limites
Observe
Ôpa! Essa é do meu estado
Solução:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}[\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{2}]=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{2}.1.\sqrt{2}.1=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{4}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=[/tex3]
Agora , vamos determinar [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3] , temos
[tex3]L=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]
Aplicando ln em ambos os membros, fica;
[tex3]ln(L)=ln[\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}][/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}[x.ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)][/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}x.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{2}sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\sqrt{2}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2}.1)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2})[/tex3]
ln( L ) = 0
[tex3]L=e^{0}[/tex3]
L = 1
Então,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}=1[/tex3]
Logo,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=1.2=2[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=2[/tex3] , alternativa a).
Bons estudos!
Ôpa! Essa é do meu estado
Solução:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}[\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{2}]=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right).\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{\sqrt{2}.sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{2}.1.\sqrt{2}.1=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.\sqrt{4}=[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=[/tex3]
Agora , vamos determinar [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3] , temos
[tex3]L=\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]
Aplicando ln em ambos os membros, fica;
[tex3]ln(L)=ln[\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}][/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}[/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}[x.ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)][/tex3]
[tex3]ln(L)=\lim_{x \rightarrow \ 0}x.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.\lim_{x \rightarrow \ 0}ln\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{2}sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln\left(\sqrt{2}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{sen (\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}x}\right)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2}.1)[/tex3]
[tex3]ln(L)= 0.ln(\sqrt{2})[/tex3]
ln( L ) = 0
[tex3]L=e^{0}[/tex3]
L = 1
Então,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}=1[/tex3]
Logo,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x}.2=1.2=2[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\left(\frac{sen (\sqrt{2}x)}{x}\right)^{x+2}=2[/tex3] , alternativa a).
Bons estudos!
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