Ensino Superior ⇒ Análise Real- Teste de convergência Tópico resolvido

[deOliveira]

Se [tex3]0< a< b<1[/tex3]

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[tex3]0< a< b<1[/tex3]

, a série [tex3]a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+...[/tex3]

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[tex3]a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+...[/tex3]

é convergente.
Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de d'Alambert é inconclusivo.
Exercício do livro Análise Real Volume 1, Elon Lages Lima

[undefinied3]

Teste de cauchy -> Teste da raiz.

[tex3]\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}
\sqrt[n]{a^n}=a \\
\sqrt[n]{b^n}=b
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}
\sqrt[n]{a^n}=a \\
\sqrt[n]{b^n}=b
\end{cases}[/tex3]

O lim para n infinito não existe, então analisamos o supremo, que é b. Como [tex3]b<1[/tex3]

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[tex3]b<1[/tex3]

, a série converge.

Teste de d'Alambert -> Teste da razão.

A razão pode ser [tex3]\frac{b^n}{a^{n-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{b^n}{a^{n-1}}[/tex3]

ou [tex3]\frac{a^n}{b^{n-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a^n}{b^{n-1}}[/tex3]

. Eu posso estar enganado, mas, quando o limite não existe, simplesmente não tem como aplicar o teste da razão. Ou ele também trabalhava com supremo e ínfimo?

[deOliveira]

Bom, o que está escrito aqui a respeito do teste de d'Alambert é o seguinte:
Seja [tex3]a_n\ne0[/tex3]

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[tex3]a_n\ne0[/tex3]

para todo [tex3]n\in\mathbb N[/tex3]

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[tex3]n\in\mathbb N[/tex3]

. Se existe uma constante [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

tal que [tex3]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le c<1[/tex3]

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[tex3]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le c<1[/tex3]

para todo [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

suficientemente grande (em particular, se [tex3]\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/tex3]

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[tex3]\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/tex3]

) então a série [tex3]\sum a_n[/tex3]

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[tex3]\sum a_n[/tex3]

será absolutamente convergente.

Então a gente analisa o supremo? (Não sei, tô aprendendo agora)

[undefinied3]

Não, então o teste é inconclusivo mesmo. O limite nem mesmo existe para falarmos em < 1.

O teste da raiz é realmente mais forte porque ele analisa o supremo nesses casos que o limite não existe. O que eu quero dizer é que, em casos simples, basta analisar [tex3]\lim \sqrt[n]{a_n}[/tex3]

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[tex3]\lim \sqrt[n]{a_n}[/tex3]

, mas nesses casos que o limite não existe (por exemplo forçando uma série estranha, do tipo 0 quando n é múltiplo de 3 e [tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3]

quando não é), a validade do teste é mantida ao analisar [tex3]\lim sup \sqrt[n]{a_n}[/tex3]

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[tex3]\lim sup \sqrt[n]{a_n}[/tex3]

.

O teste da razão não tem essa "extensão" de analisar o supremo.

[deOliveira]

Entendi.
Muito obrigada!

[undefinied3]

Eu fiquei um pouco receoso de estar falando algo de errado porque demonstrei insegurança ali no primeiro post em relação ao teste da razão, e como você está vendo a matéria, queria ter certeza de não estar te prejudicando, mas tá certinho o que eu disse mesmo. O teste da razão é inconclusivo quando o limite não existe.

Só que tem que tomar bastante cuidado nesse tipo de questão que o autor não define o termo geral. Olha o exemplo nesse link:
https://math.stackexchange.com/question ... ratio-test

Aqui também poderíamos ter o mesmo problema. Se formos entender que o termo geral é [tex3]a^n+b^n[/tex3]

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[tex3]a^n+b^n[/tex3]

e não [tex3]a^n[/tex3]

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[tex3]a^n[/tex3]

pra n ímpar e [tex3]b^n[/tex3]

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[tex3]b^n[/tex3]

para n par, acabamos mostrando que a série é convergente pelo teste da razão. Mas aí é problema do autor que não explicitou a série corretamente, pois são séries diferentes quando definimos por [tex3]a^n+b^n[/tex3]

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[tex3]a^n+b^n[/tex3]

ou quando definimos do outro jeito mais complicado, apesar da soma ser a mesma.