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Mensagem não lidapor **magben** » Qui 19 Dez, 2019 20:02 · Mensagem não lida por **magben** » Qui 19 Dez, 2019 20:02

Prove que [tex3]\sqrt{5}[/tex3] é irracional

Suponha, por absurdo, que [tex3]\sqrt5[/tex3] é racional. Então existem [tex3]a,b[/tex3] inteiros tais que [tex3]\frac ab[/tex3] .

[tex3]\frac ab=\sqrt7\\\implies a^2=5b^2[/tex3]

[tex3]a^2[/tex3] pode ser decomposto em fatores primos de forma única a menos da ordem, segundo o teorema fundamental da aritmética
[tex3]a^2=2^{2\alpha_1}+3^{2\alpha_2}+5^{2\alpha_3}+...+p_n^{\alpha_n}[/tex3]
Assim, em [tex3]a^2[/tex3] temos um número par de fatores 5.

Para [tex3]b^2[/tex3] temos a mesma coisa.
[tex3]b^2=2^{2\beta_1}+3^{2\beta_2}+5^{2\beta_3}+...+p_m^{\beta_m}[/tex3]

Então [tex3]a^2=5b^2=2^{2\beta_1}+3^{2\beta_2}+5^{2\beta_3+1}+...+p_m^{\beta_m}[/tex3]
Assim, em [tex3]5b^2=a^2[/tex3] temos um número ímpar de fatores 5. O que é um absurdo, pois contradiz o teorema fundamental da aritmética (não teríamos um modo único de decompor [tex3]a^2[/tex3] em fatores primos a menos da ordem).

Espero ter ajudado

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