Ensino Superior

Mensagem não lidapor **julianonara** » 18 Dez 2019, 23:44

Calcule a integral de cossec(x) sendo sen(x) = 2sen [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] cos [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] e [tex3]sen^{2}[/tex3] (x) + [tex3]cos^{2}[/tex3] (x) = 1:

Resposta

ln |tg([tex3]\frac{x}{2}[/tex3] )|

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 19 Dez 2019, 10:50

Observe

Uma solução:

[tex3]sen(x)=2sen\left(\frac{x}{2}\right).cos\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]

[tex3]sen(x)=2\frac{sen\left(\frac{x}{2}\right)}{cos\left(\frac{x}{2}\right)}.cos^2\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3]

Assim,

[tex3]sen (x)=\frac{2tg\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg^2\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}cossec (x) \ dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{sen (x)} \ dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1+tg^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2tg\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx \ ( I )[/tex3]

Fazendo u = tg [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3] → [tex3]du=\frac{1}{2}[1+tg^2\left(\frac{x}{2}\right)]dx[/tex3] , ou seja , [tex3]dx=\frac{2du}{1+u^2}[/tex3]

Agora, basta substituir esses valores encontrados acima em ( I ) , temos que

[tex3]\int\limits_{}^{}[\left(\frac{\cancel{1+u^2}}{\cancel{2}u}\right).\left(\frac{\cancel{2}du}{\cancel{1+u^2}}\right)][/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=ln|u|+C[/tex3]

Mas, u = tg [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)[/tex3] , logo, [tex3]ln\left|tg\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C[/tex3] .

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}cossec (x) \ dx=ln\left|tg\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C[/tex3] .

Bons estudos!

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