Ensino Superior ⇒ integral utilizando frações parciais Tópico resolvido

[thetruth]

pessoal, vocês poderiam me ajudar nesse calculo de integral aqui

[tex3]\int\limits \frac{dx}{x^3-4x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits \frac{dx}{x^3-4x^2}[/tex3]

cheguei em [tex3]\frac{ax(x-4)+b(x-4)+cx^2}{x^2(x-4)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ax(x-4)+b(x-4)+cx^2}{x^2(x-4)}[/tex3]

daí joguei os pontos onde a e b dão 0 e achei c = [tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

daí joguei os pontos onde a e c dão 0 e achei b = [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]

só que não consigo achar o ponto a seguindo essa lógica

[deOliveira]

daí joguei os pontos onde a e b dão 0 e achei c = [tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{16}[/tex3]

daí joguei os pontos onde a e c dão 0 e achei b = [tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]

só que não consigo achar o ponto a seguindo essa lógica

Com isso você quer dizer que colocou x=0 e x=4?

[deOliveira]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^3-4x^2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^3-4x^2}dx[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)[/tex3]

Primeiro vou encontrar [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

tais que:
[tex3]\frac{a}{x}+\frac{b}{x-4}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{x}+\frac{b}{x-4}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

para todo [tex3]x\in \mathbb{R}, x\neq 0,x\neq 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}, x\neq 0,x\neq 4[/tex3]

[tex3]\frac{a(x-4)+bx}{x(x-4)}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a(x-4)+bx}{x(x-4)}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

[tex3]\frac{ax+bx-4a}{x(x-4)}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ax+bx-4a}{x(x-4)}=\frac{1}{x^2-4x}[/tex3]

[tex3]\frac{x(a+b)-4a}{x(x-4)}=\frac{0x+1}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x(a+b)-4a}{x(x-4)}=\frac{0x+1}{x^2-4x}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \begin{cases}
a+b=0 \rightarrow b=-a\\
-4a=1\rightarrow a=-\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \begin{cases}
a+b=0 \rightarrow b=-a\\
-4a=1\rightarrow a=-\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Então temos que: [tex3]a=-\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-\frac{1}{4}[/tex3]

e b=[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Então temos que: [tex3]\frac{1}{x^2-4x}=\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2-4x}=\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}[/tex3]

Logo: [tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}\right)[/tex3]

[tex3]=\frac{-\frac{1}{4}}{{x^2}}+\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{-\frac{1}{4}}{{x^2}}+\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

Vamos agora encontrar [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

e [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

tais que
[tex3]\frac{c}{x}+\frac{d}{x-4}=\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{x}+\frac{d}{x-4}=\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

para todo [tex3]x\in \mathbb{R}, x\neq 0,x\neq 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb{R}, x\neq 0,x\neq 4[/tex3]

[tex3]\frac{c(x-4)+dx}{x(x-4)}=\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c(x-4)+dx}{x(x-4)}=\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}[/tex3]

[tex3]\frac{x(c+d)+-4c}{x^2-4x}=\frac{\frac{1}{4}+0x}{x^2-4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x(c+d)+-4c}{x^2-4x}=\frac{\frac{1}{4}+0x}{x^2-4x}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \begin{cases}
c+d=0\rightarrow d=-c \\
-4c=\frac{1}{4}\rightarrow c=-\frac{1}{16}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \begin{cases}
c+d=0\rightarrow d=-c \\
-4c=\frac{1}{4}\rightarrow c=-\frac{1}{16}
\end{cases}[/tex3]

Então temos que: [tex3]c=-\frac{1}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=-\frac{1}{16}[/tex3]

e [tex3]d=\frac{1}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=\frac{1}{16}[/tex3]

Ou seja: [tex3]\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}=\frac{-\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4x}=\frac{-\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}[/tex3]

Então temos que a fração inicial [tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}+\frac{-\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}+\frac{-\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}[/tex3]

Dessa forma já podemos integrar.

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{16}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{16}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{16}}{{x-4}}dx[/tex3]

[tex3]=\frac{1}{4}\int\limits_{}^{}-\frac{1}{x^2}dx-\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-4}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{1}{4}\int\limits_{}^{}-\frac{1}{x^2}dx-\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-4}dx[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4x}-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{16}ln|x-4|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4x}-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{16}ln|x-4|[/tex3]

Não sei bem de que jeito você estava fazendo, mas se foi substituindo x por 0 e por 4 tem de tomar cuidado pois fazendo isso estaria dividindo por zero.
Espero ter ajudado.

[thetruth]

[tex3]=\frac{-\frac{1}{4}}{{x^2}}+\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{-\frac{1}{4}}{{x^2}}+\frac{\frac{1}{4}}{x^2-4}[/tex3]

porque aqui o x não multiplicou o 4?

[deOliveira]

Você quer dizer assim [tex3]-\frac{1}{4x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4x^2}[/tex3]

? Porque se sim tanto faz pois [tex3]-\frac{1}{4x^2}=-\frac{\frac{1}{4}}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4x^2}=-\frac{\frac{1}{4}}{x^2}[/tex3]

Não sei bem se era essa a sua dúvida...

[thetruth]

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^3-4x^2}=\frac{1}{x}.\left(\frac{1}{x^2-4x}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{{x-4}}\right)[/tex3]

aqui ó, porque o 1/x não só multiplicou o x do denominador x-4? porque não multiplicou o 4 também??

[deOliveira]

Ah sim, foi um erro de digitação, vou arrumá-lo, obrigada.

[deOliveira]

Acho que agora está certo, como eu usei o ctrl+c ctrl+v para escrever a resolução acabei tendo de arrumar várias outras, espero que eu tenha arrumado todas. Desculpe

[thetruth]

Acho que agora está certo, como eu usei o ctrl+c ctrl+v para escrever a resolução acabei tendo de arrumar várias outras, espero que eu tenha arrumado todas. Desculpe

entendo, tá desculpada