Ensino Superior ⇒ calculo de área utilizando integral Tópico resolvido

[thetruth]

calcule a área da região limitada pelas curvas [tex3]f(x) =x^{2}\ e\ \ g(x) = x+2\ onde\ x\in[-2,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) =x^{2}\ e\ \ g(x) = x+2\ onde\ x\in[-2,4][/tex3]

[deOliveira]

A área entre duas funções e a integral entre "a função de cima - a função de baixo", então temos que saber qual é a função de cima e qual é a de baixo (espero que não tenha ficado confuso kk)
[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

e [tex3]g(x)=x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=x+2[/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

[tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

ou [tex3]x \in[2,+\infty )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in[2,+\infty )[/tex3]

Então temos que no intervalo [tex3][-2,-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-2,-1][/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

[tex3][-1,2][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-1,2][/tex3]

[tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

[tex3][2,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][2,4][/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Então A=[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))dx+\int\limits_{-1}^{2}(g(x)-f(x))dx+\int\limits_{2}^{4}(f(x)-g(x))dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))dx+\int\limits_{-1}^{2}(g(x)-f(x))dx+\int\limits_{2}^{4}(f(x)-g(x))dx[/tex3]

A=[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx+\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)dx+\int\limits_{2}^{4}(x^2-x-2)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx+\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)dx+\int\limits_{2}^{4}(x^2-x-2)dx[/tex3]

A=[tex3]\left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{-2}^{-1}+\left(\frac{-x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)_{-1}^2+ \left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{2}^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{-2}^{-1}+\left(\frac{-x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)_{-1}^2+ \left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{2}^{4}[/tex3]

A=[tex3]\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{26}{3}=15[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{26}{3}=15[/tex3]

Espero que as contas estejam certas...

Esboço do gráfico para ajudar:

[thetruth]

A área entre duas funções e a integral entre "a função de cima - a função de baixo", então temos que saber qual é a função de cima e qual é a de baixo (espero que não tenha ficado confuso kk)
[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^2[/tex3]

e [tex3]g(x)=x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=x+2[/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

[tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

ou [tex3]x \in[2,+\infty )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in[2,+\infty )[/tex3]

Então temos que no intervalo [tex3][-2,-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-2,-1][/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

[tex3][-1,2][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][-1,2][/tex3]

[tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

[tex3][2,4][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][2,4][/tex3]

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Então A=[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))dx+\int\limits_{-1}^{2}(g(x)-f(x))dx+\int\limits_{2}^{4}(f(x)-g(x))dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))dx+\int\limits_{-1}^{2}(g(x)-f(x))dx+\int\limits_{2}^{4}(f(x)-g(x))dx[/tex3]

A=[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx+\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)dx+\int\limits_{2}^{4}(x^2-x-2)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx+\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)dx+\int\limits_{2}^{4}(x^2-x-2)dx[/tex3]

A=[tex3]\left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{-2}^{-1}+\left(\frac{-x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)_{-1}^2+ \left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{2}^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{-2}^{-1}+\left(\frac{-x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)_{-1}^2+ \left( \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x \right)_{2}^{4}[/tex3]

A=[tex3]\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{26}{3}=15[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{26}{3}=15[/tex3]

Espero que as contas estejam certas...

Esboço do gráfico para ajudar:

puts errei ((, valeu demais

[thetruth]

poderia me explicar melhor essa parte dos pontos, achei um tanto quanto confuso :/

[thetruth]

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x-2\geq 0 \rightarrow (x+1)(x-2)\geq 0 \rightarrow x\in (-\infty ,-1][/tex3]

aqui o intervalo de x não sseria entre -1 e 0??

[deOliveira]

aqui o intervalo de x não sseria entre -1 e 0??

Não...
Fica fácil ver se você fizer um esboço de [tex3]x^2-x-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x-2[/tex3]

[deOliveira]

Então temos que no intervalo [−2,−1][−2,−1] f(x)≥g(x)f(x)≥g(x)
[−1,2][−1,2] g(x)≥f(x)g(x)≥f(x)

poderia me explicar melhor essa parte

Bem, vou tentar...
Com a inequação [tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2\geq x+2[/tex3]

descobrimos que isso acontece quando [tex3]x \in(-\infty ,-1] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in(-\infty ,-1] [/tex3]

ou [tex3]x\in [2,+\infty)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in [2,+\infty)[/tex3]

Então nesses dois intervalos temos que [tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Porém, só nos interessa o comportamento das funções no intervalo [-2,4]
Então teremos que no intervalo [-2,-1] [tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

(f está em cima, g está em baixo)
no intervalo [-1,2] [tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)\geq f(x)[/tex3]

(g está em cima, f está em baixo)
no intervalo [2,4] [tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]

(f está em cima, g está em baixo)
E isso é a ideia de descobrir qual é a função que está em cima e qual está em baixo.
Talvez fique mais fácil pegar a intuição disso se você fizer um esboço dos gráficos ou usar algo como o Geogebra para observar como eles são, quem está em cima e tals.

[thetruth]

deOliveira entendi!!. valeu pela ajuda