Ensino SuperiorProblema de valor inicial Tópico resolvido

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julianonara
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Problema de valor inicial

Mensagem não lida por julianonara »

Apresente a solução do problema de valor inicial apresentado abaixo:

[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \\
y' = x - 3y
\end{cases}[/tex3]

Dados: x(0) = 1 e y(0) = 1
Resposta

x(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - 3 sen(t))[/tex3] e y(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - sen(t)) [/spoiler][/tex3]




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Cardoso1979
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Re: Problema de valor inicial

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução ( método da eliminação ):

[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \ (I)\\
y' = x - 3y \ (II)
\end{cases}[/tex3]

Vamos isolar a variável x , de ( I I ) , temos:

x = y' + 3y ( I I I )

Derivando implicitamente, resulta;

x' = y'' + 3y' ( IV )

Substituindo ( I I I ) e ( IV ) em ( I ) , vem;

( y'' + 3y' ) = ( y' + 3y ) - 5y

y'' + 3y' - y' - 3y + 5y = 0

y'' + 2y' + 2y = 0

r² + 2r + 2 = 0

∆ = - 4 < 0 , [tex3]r_{1}=-1+i \ ; \ r_{2}=-1-i [/tex3]


Logo,

[tex3]y(t)=e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)] \ (V)[/tex3]

Por outro lado, substituindo ( V ) em ( I I I ), temos que:

x = y' + 3y

[tex3]x(t)=\{e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen (t)]\}'+3\{e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)]\}[/tex3]

[tex3]x(t)=-e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen(t)]+e^{-t}[-C_{1}sen(t)+C_{2}cos(t)]+e^{-t}[3C_{1}cos (t)+3C_{2}sen (t)][/tex3]

[tex3]x(t)=e^{-t}[(-C_{1}+C_{2}+3C_{1}).cos (t)+(-C_{2}-C_{1}+3C_{2}).sen (t)][/tex3]

[tex3]x(t)=e^{-t}[(2C_{1}+C_{2}).cos (t)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (t)][/tex3]


Aplicando os valores iniciais ( x( 0 ) = 1 e y( 0 ) = 1 ), fica;

[tex3]y(0)=e^{-0}[C_{1}cos (0)+C_{2}sen (0)] [/tex3]

[tex3]C_{1}=1[/tex3]

Ainda;

[tex3]x(0)=e^{-0}[(2C_{1}+C_{2}).cos (0)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (0)][/tex3]

[tex3]2C_{1}+C_{2}=1[/tex3]

Como [tex3]C_{1}=1[/tex3] , daí;

[tex3]2.1+C_{2}=1[/tex3]

[tex3]C_{2}=-1[/tex3]


Assim,

[tex3]y(t)=e^{-t}[1.cos (t)-1.sen (t)] [/tex3]

[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]

e

[tex3]x(t)=e^{-t}[(2.1-1).cos (t)+(-1+2.(-1)).sen (t)][/tex3]

[tex3]x(t)=e^{-t}[(2-1).cos (t)+(-1-2).sen (t)][/tex3]

[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]


Portanto,

[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]

e

[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]



Bons estudos!




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