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Problema de valor inicial
Enviado: Seg 02 Dez, 2019 23:08
por julianonara
Apresente a solução do problema de valor inicial apresentado abaixo:
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \\
y' = x - 3y
\end{cases}[/tex3]
Dados: x(0) = 1 e y(0) = 1
Re: Problema de valor inicial
Enviado: Sex 13 Dez, 2019 16:47
por Cardoso1979
Observe
Uma solução ( método da eliminação ):
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \ (I)\\
y' = x - 3y \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Vamos isolar a variável x , de ( I I ) , temos:
x = y' + 3y ( I I I )
Derivando implicitamente, resulta;
x' = y'' + 3y' ( IV )
Substituindo ( I I I ) e ( IV ) em ( I ) , vem;
( y'' + 3y' ) = ( y' + 3y ) - 5y
y'' + 3y' - y' - 3y + 5y = 0
y'' + 2y' + 2y = 0
r² + 2r + 2 = 0
∆ = - 4 < 0 , [tex3]r_{1}=-1+i \ ; \ r_{2}=-1-i [/tex3]
Logo,
[tex3]y(t)=e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)] \ (V)[/tex3]
Por outro lado, substituindo ( V ) em ( I I I ), temos que:
x = y' + 3y
[tex3]x(t)=\{e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen (t)]\}'+3\{e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)]\}[/tex3]
[tex3]x(t)=-e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen(t)]+e^{-t}[-C_{1}sen(t)+C_{2}cos(t)]+e^{-t}[3C_{1}cos (t)+3C_{2}sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(-C_{1}+C_{2}+3C_{1}).cos (t)+(-C_{2}-C_{1}+3C_{2}).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2C_{1}+C_{2}).cos (t)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (t)][/tex3]
Aplicando os valores iniciais ( x( 0 ) = 1 e y( 0 ) = 1 ), fica;
[tex3]y(0)=e^{-0}[C_{1}cos (0)+C_{2}sen (0)] [/tex3]
[tex3]C_{1}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]x(0)=e^{-0}[(2C_{1}+C_{2}).cos (0)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (0)][/tex3]
[tex3]2C_{1}+C_{2}=1[/tex3]
Como [tex3]C_{1}=1[/tex3]
, daí;
[tex3]2.1+C_{2}=1[/tex3]
[tex3]C_{2}=-1[/tex3]
Assim,
[tex3]y(t)=e^{-t}[1.cos (t)-1.sen (t)] [/tex3]
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
e
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2.1-1).cos (t)+(-1+2.(-1)).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2-1).cos (t)+(-1-2).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
Portanto,
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
e
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
Bons estudos!