[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \\
y' = x - 3y
\end{cases}[/tex3]
Dados: x(0) = 1 e y(0) = 1
Resposta
x(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - 3 sen(t))[/tex3] e y(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - sen(t)) [/spoiler][/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Problema de valor inicial Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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julianonara
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Dez 2019
02
23:08
Problema de valor inicial
Apresente a solução do problema de valor inicial apresentado abaixo:
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \\
y' = x - 3y
\end{cases}[/tex3]
Dados: x(0) = 1 e y(0) = 1
x(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - 3 sen(t))[/tex3] e y(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - sen(t)) [/spoiler][/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \\
y' = x - 3y
\end{cases}[/tex3]
Dados: x(0) = 1 e y(0) = 1
x(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - 3 sen(t))[/tex3] e y(t) = [tex3]e^{-t}(cos(t) - sen(t)) [/spoiler][/tex3]
-
Cardoso1979
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Dez 2019
13
16:47
Re: Problema de valor inicial
Observe
Uma solução ( método da eliminação ):
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \ (I)\\
y' = x - 3y \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Vamos isolar a variável x , de ( I I ) , temos:
x = y' + 3y ( I I I )
Derivando implicitamente, resulta;
x' = y'' + 3y' ( IV )
Substituindo ( I I I ) e ( IV ) em ( I ) , vem;
( y'' + 3y' ) = ( y' + 3y ) - 5y
y'' + 3y' - y' - 3y + 5y = 0
y'' + 2y' + 2y = 0
r² + 2r + 2 = 0
∆ = - 4 < 0 , [tex3]r_{1}=-1+i \ ; \ r_{2}=-1-i [/tex3]
Logo,
[tex3]y(t)=e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)] \ (V)[/tex3]
Por outro lado, substituindo ( V ) em ( I I I ), temos que:
x = y' + 3y
[tex3]x(t)=\{e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen (t)]\}'+3\{e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)]\}[/tex3]
[tex3]x(t)=-e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen(t)]+e^{-t}[-C_{1}sen(t)+C_{2}cos(t)]+e^{-t}[3C_{1}cos (t)+3C_{2}sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(-C_{1}+C_{2}+3C_{1}).cos (t)+(-C_{2}-C_{1}+3C_{2}).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2C_{1}+C_{2}).cos (t)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (t)][/tex3]
Aplicando os valores iniciais ( x( 0 ) = 1 e y( 0 ) = 1 ), fica;
[tex3]y(0)=e^{-0}[C_{1}cos (0)+C_{2}sen (0)] [/tex3]
[tex3]C_{1}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]x(0)=e^{-0}[(2C_{1}+C_{2}).cos (0)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (0)][/tex3]
[tex3]2C_{1}+C_{2}=1[/tex3]
Como [tex3]C_{1}=1[/tex3] , daí;
[tex3]2.1+C_{2}=1[/tex3]
[tex3]C_{2}=-1[/tex3]
Assim,
[tex3]y(t)=e^{-t}[1.cos (t)-1.sen (t)] [/tex3]
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
e
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2.1-1).cos (t)+(-1+2.(-1)).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2-1).cos (t)+(-1-2).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
Portanto,
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
e
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
Bons estudos!
Uma solução ( método da eliminação ):
[tex3]\begin{cases}
x' = x - 5y \ (I)\\
y' = x - 3y \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Vamos isolar a variável x , de ( I I ) , temos:
x = y' + 3y ( I I I )
Derivando implicitamente, resulta;
x' = y'' + 3y' ( IV )
Substituindo ( I I I ) e ( IV ) em ( I ) , vem;
( y'' + 3y' ) = ( y' + 3y ) - 5y
y'' + 3y' - y' - 3y + 5y = 0
y'' + 2y' + 2y = 0
r² + 2r + 2 = 0
∆ = - 4 < 0 , [tex3]r_{1}=-1+i \ ; \ r_{2}=-1-i [/tex3]
Logo,
[tex3]y(t)=e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)] \ (V)[/tex3]
Por outro lado, substituindo ( V ) em ( I I I ), temos que:
x = y' + 3y
[tex3]x(t)=\{e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen (t)]\}'+3\{e^{-t}[C_{1}cos (t)+C_{2}sen (t)]\}[/tex3]
[tex3]x(t)=-e^{-t}[C_{1}cos(t)+C_{2}sen(t)]+e^{-t}[-C_{1}sen(t)+C_{2}cos(t)]+e^{-t}[3C_{1}cos (t)+3C_{2}sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(-C_{1}+C_{2}+3C_{1}).cos (t)+(-C_{2}-C_{1}+3C_{2}).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2C_{1}+C_{2}).cos (t)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (t)][/tex3]
Aplicando os valores iniciais ( x( 0 ) = 1 e y( 0 ) = 1 ), fica;
[tex3]y(0)=e^{-0}[C_{1}cos (0)+C_{2}sen (0)] [/tex3]
[tex3]C_{1}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]x(0)=e^{-0}[(2C_{1}+C_{2}).cos (0)+(-C_{1}+2C_{2}).sen (0)][/tex3]
[tex3]2C_{1}+C_{2}=1[/tex3]
Como [tex3]C_{1}=1[/tex3] , daí;
[tex3]2.1+C_{2}=1[/tex3]
[tex3]C_{2}=-1[/tex3]
Assim,
[tex3]y(t)=e^{-t}[1.cos (t)-1.sen (t)] [/tex3]
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
e
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2.1-1).cos (t)+(-1+2.(-1)).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[(2-1).cos (t)+(-1-2).sen (t)][/tex3]
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
Portanto,
[tex3]x(t)=e^{-t}[cos (t)-3sen (t)][/tex3]
e
[tex3]y(t)=e^{-t}[cos (t)-sen (t)] [/tex3]
Bons estudos!
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