Ensino Superior

Seja [tex3]b \in R[/tex3] . Considere a função [tex3]f : R → R[/tex3] definida por [tex3]f(x) = 2e^x + b[/tex3] . O valor de [tex3]b[/tex3] para que a imagem de [tex3]f[/tex3] seja [tex3](1, +\infty)[/tex3] pertence ao intervalo:

a) (−∞, −9)
b) [−9, −5)
c) [−5, −1)
d) [−1, 5)
e) [5,+∞)

O que me confundiu foi o e, já que ele é um número quebrado e pela derivada, ele não muda.

Giii, boa noite !

[tex3]f(x) = 2e^x +b[/tex3]

• O domínio da inversa de [tex3]f[/tex3] é igual à imagem de [tex3]f [/tex3] :

[tex3]y = 2e^x +b [/tex3]

[tex3]2e^x = y-b [/tex3]

[tex3]e^x = \frac{y-b}2 [/tex3]

[tex3]x = \ln \(\frac{y-b}2\) [/tex3]

[tex3]f(x)^{-1}= \ln\(\frac{x-b}2\)[/tex3]

• Analisando a função logarítmica:

[tex3]\log_b^a=c [/tex3]

[tex3]a>0 [/tex3]

• Assim, o domínio de [tex3]f^{-1} [/tex3] é:

[tex3]\frac{x-b}2 > 0[/tex3]

[tex3]x-b > 0[/tex3]

[tex3]x > b[/tex3]

• Logo:

[tex3]D(f^{-1}) = (b;+\infty)[/tex3]

[tex3]Im(f) = (b;+\infty)[/tex3]

• Para os intervalos coincidirem:

[tex3](b;+\infty) = (1;+\infty) [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{b = 1}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{b\in [-1; 5)}} [/tex3]

De outra forma

Se [tex3]a>1[/tex3] , [tex3]a^x[/tex3] é crescente e [tex3]\lim_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty[/tex3] .

Além disso,

1) se [tex3]a>1[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0[/tex3] .

2) [tex3]\lim_{x\rightarrow a}k=k[/tex3]

Como o limite da soma é a soma dos limites

[tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+b=\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+\lim_{x\rightarrow-\infty}b=0+b=b[/tex3]

Dessa forma, [tex3]a>1,b\in\mathbb{R}\rightarrow Im(a^x+b)=(b,+\infty)[/tex3] e a conclusão se torna óbvia.

Ensino Superior ⇒ Imagem de uma função Tópico resolvido

Imagem de uma função

Re: Imagem de uma função

Re: Imagem de uma função

Ensino Superior ⇒ Imagem de uma função Tópico resolvido

Imagem de uma função

Re: Imagem de uma função

Re: Imagem de uma função

Entrar • Registrar