Ensino SuperiorSoluções de derivadas Tópico resolvido

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Giii
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Soluções de derivadas

Mensagem não lida por Giii »

considere a função f : [−4, 0] → R e a reta
tangente em x = −1 representadas na figura abaixo:

1. O número de soluções de f(x) = 3/2 é?

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Não compreendi como que encontro o número de soluções, quem puder me ajudar ficarei grata!
Anexos
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Matheusrpb
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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por Matheusrpb »

Giii, boa noite !

• A função é do tipo:

[tex3] f(x) = ax^3+bx^2+cx+d [/tex3]

• Temos 4 pontos que pertencem à função:

[tex3] A=(0;5)[/tex3]
[tex3] B=(-3;2)[/tex3]
[tex3] C=(-4;1) [/tex3]
[tex3] D = (-1;1) [/tex3]

• Fazendo um sistema, podemos descobrir a função:

[tex3]\begin{cases}
5=d \\
2=-27a +9b-3c+d \\
1=-64a+16b-4c+d \\
1=-a+b-c+d
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
-3=-27a+9b-3c \\
-4=-64a+16b -4c \\
-4=-a+b-c
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
1=9a -3b +c \\
1=16a-4b+c \\
4=a-b+c \space → \space c = 4-a+b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
1=9a-3b +4-a+b \\
1=16a-4b +4-a+b
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
3=2b-8a \\
3=3b-15a
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
9=6b -24a \\
-6=-6b+30a
\end{cases}[/tex3]

[tex3] 30a-24a = 9-6 [/tex3]

[tex3] \boxed{a = \frac 12}[/tex3]

[tex3] \boxed{b= \frac 72}[/tex3]

[tex3] \boxed{c= 7} [/tex3]

• Logo:

[tex3] f(x) = \frac{x^3}2 +\frac{7x^2}2 + 7x + 5 [/tex3]

• [tex3] f(x) = \frac 32[/tex3]

[tex3] \frac 32 = \frac{x^3} 2 + \frac{7x^2}2 + 7x + 5[/tex3]

[tex3] 3 = x^3 + 7x^2 + 14x +10[/tex3]

[tex3] x^3 +7x^2 +14x +7 = 0 [/tex3]

[tex3] p(x) = x^3 +7x^2 +14x +7 [/tex3]

• O polinômio acima não possui raízes inteiras, entretanto só precisamos saber quantas raízes reais ele possui. Dessa forma, o Teorema de Bolzano poderá ser útil:

• [tex3] x= 0[/tex3]

[tex3]p(0) = 7 [/tex3]

• [tex3] x = -1 [/tex3]

[tex3]p(-1) = -1 [/tex3]

• [tex3] x = -3 [/tex3]

[tex3] p(-3) = 1[/tex3]

• [tex3] x=-4 [/tex3]

[tex3] p(-4) = -1 [/tex3]

• Portanto, temos raízes entre: 0 e -1, -1 e -3, -3 e -4. Ou seja, o número de soluções para [tex3] f(x) =\frac 32[/tex3] é 3.



Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?

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caju
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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por caju »

Olá Giii,

Podemos resolver essa questão graficamente, também. O que o enunciado está pedindo é, basicamente, quantos valores de [tex3]x[/tex3] satisfazem a equação [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] .

Assim, podemos traçar uma reta horizontal em [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] (que é a mesma coisa que [tex3]y=1,5[/tex3] ), e ver em quantos pontos do gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] essa reta corta:
gráfico.JPG
gráfico.JPG (35.18 KiB) Exibido 180 vezes
Veja que a reta [tex3]y=1,5[/tex3] corta o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] em três pontos distintos. Assim, podemos concluir que [tex3]f(x)=\frac{3}{2}[/tex3] tem três soluções distintas.

Grande abraço,
Prof. Caju


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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por Giii »

Matheusrpb, Ah sim, matemática básica kkkkkk Gostei bastante da sua explicação. Poderia me dizer como montou este sistema??
Última edição: Giii (Seg 02 Dez, 2019 11:50). Total de 2 vezes.



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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por Giii »

caju, Simples de fazer, se for pelo gráfico né?? Mas por que traçar uma reta horizontal?? Poderia me explicar também??
Última edição: Giii (Seg 02 Dez, 2019 11:51). Total de 2 vezes.



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caju
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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por caju »

Quando o enunciado pede [tex3]f(x)=1,5[/tex3] , está pedindo todos os pontos do gráfico que possuem coordenada [tex3]y[/tex3] igual a [tex3]1,5[/tex3] .

A reta que eu tracei, é a reta que contém todos os pontos do plano cartesiano cuja coordenada [tex3]y[/tex3] vale [tex3]1,5[/tex3] . Assim, cada ponto que pertença à reta e à [tex3]f(x)[/tex3] ao mesmo tempo estará mostrando uma solução de [tex3]f(x)=1,5[/tex3] .

Grande abraço,
Prof. Caju


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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por Giii »

caju, ah, sim!!! Agora eu entendi. Muito obrigada por me ajudar!!!! :D



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caju
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Re: Soluções de derivadas

Mensagem não lida por caju »

De nada, Giii.

Não se esqueça de marcar a solução como aceita, isso nos ajuda a manter o fórum organizado para todos :)

Grande abraço,
Prof. Caju



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