Taxa de Variação Máxima
Enviado: Dom 01 Dez, 2019 15:57
Determine a taxa de variação máxima no ponto [tex3]p[/tex3]
e a direção em que isso ocorre
[tex3]f(x,y)=\frac{\ \ y^2}{x};\ p(2,4)[/tex3]
[tex3]f(x,y)=\frac{\ \ y^2}{x};\ p(2,4)[/tex3]
Boa noite!
Derivando parcialmente, teremos:
[tex3]f(x,y)=\dfrac{y^2}{x}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=-\dfrac{y^2}{x^2}\\
\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=\dfrac{2y}{x}\\\end{cases}
[/tex3]
Calculando o gradiente:
[tex3]\nabla{f(x,y)}=\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}\;\vec{i}+\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\;\vec{j}\Rightarrow\boxed{
\nabla{f(x,y)}=\left(-\dfrac{y^2}{x^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2y}{x}\right)\vec{j}}[/tex3]
Para o ponto [tex3]P(2,4)[/tex3]
dado:
[tex3]\nabla{f(2,4)}=\left(-\dfrac{4^2}{2^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2\cdot 4}{2}\right)\vec{j}\Rightarrow
\boxed{\nabla{f(2,4)}=-4\vec{i}+4\vec{j}}[/tex3]
A taxa de variação máxima, portanto:
[tex3]\|\nabla{f(2,4)}\|=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(4\right)^2}=\sqrt{16+16}\Rightarrow\boxed{\|\nabla{f(2,4)}\|=4\sqrt{2}}[/tex3]
Direção:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]
Espero ter ajudado!
