Ensino SuperiorTaxa de Variação Máxima Tópico resolvido

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Dez 2019 01 15:57

Taxa de Variação Máxima

Mensagem não lida por thetruth » Dom 01 Dez, 2019 15:57

Determine a taxa de variação máxima no ponto [tex3]p[/tex3] e a direção em que isso ocorre


[tex3]f(x,y)=\frac{\ \ y^2}{x};\ p(2,4)[/tex3]




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baltuilhe
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Dez 2019 03 00:21

Re: Taxa de Variação Máxima

Mensagem não lida por baltuilhe » Ter 03 Dez, 2019 00:21

Boa noite!

Derivando parcialmente, teremos:
[tex3]f(x,y)=\dfrac{y^2}{x}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=-\dfrac{y^2}{x^2}\\
\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=\dfrac{2y}{x}\\\end{cases}
[/tex3]

Calculando o gradiente:
[tex3]\nabla{f(x,y)}=\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}\;\vec{i}+\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\;\vec{j}\Rightarrow\boxed{
\nabla{f(x,y)}=\left(-\dfrac{y^2}{x^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2y}{x}\right)\vec{j}}[/tex3]

Para o ponto [tex3]P(2,4)[/tex3] dado:
[tex3]\nabla{f(2,4)}=\left(-\dfrac{4^2}{2^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2\cdot 4}{2}\right)\vec{j}\Rightarrow
\boxed{\nabla{f(2,4)}=-4\vec{i}+4\vec{j}}[/tex3]

A taxa de variação máxima, portanto:
[tex3]\|\nabla{f(2,4)}\|=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(4\right)^2}=\sqrt{16+16}\Rightarrow\boxed{\|\nabla{f(2,4)}\|=4\sqrt{2}}[/tex3]

Direção:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

Última edição: baltuilhe (Ter 03 Dez, 2019 00:23). Total de 1 vez.



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Dez 2019 03 01:46

Re: Taxa de Variação Máxima

Mensagem não lida por thetruth » Ter 03 Dez, 2019 01:46

baltuilhe escreveu:
Ter 03 Dez, 2019 00:21
[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]
opa ajudou sim.

uma pergunta, esse 4/-4 é o resultado das derivadas parciais no ponto, mas porque eu divido um pelo outro??
Última edição: thetruth (Ter 03 Dez, 2019 01:56). Total de 1 vez.



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Dez 2019 03 09:44

Re: Taxa de Variação Máxima

Mensagem não lida por baltuilhe » Ter 03 Dez, 2019 09:44

A direção calculei pelo ângulo do vetor em relação ao sistema oXY.
vect08.gif
vect08.gif (2.36 KiB) Exibido 30 vezes
Pode-se calcular o ângulo theta por:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Foi o que fiz :)



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Dez 2019 03 10:33

Re: Taxa de Variação Máxima

Mensagem não lida por thetruth » Ter 03 Dez, 2019 10:33

baltuilhe escreveu:
Ter 03 Dez, 2019 09:44
A direção calculei pelo ângulo do vetor em relação ao sistema oXY.
vect08.gif
Pode-se calcular o ângulo theta por:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Foi o que fiz :)
entendi!!!

obrigado




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