Ensino Superior ⇒ Diferenciabilidade da Função Tópico resolvido

[thetruth]

Como faço essa questão aqui:

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{2x^5}{x^2+y^2};\ (x,y)\neq 0 \\
0; \ (x,y) =0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{2x^5}{x^2+y^2};\ (x,y)\neq 0 \\
0; \ (x,y) =0
\end{cases}[/tex3]

é para usar a definição para verificar se é diferenciável na origem.

[Cardoso1979]

Olá thetruth, confesso que essa é muito trabalhosa! Vou resolver uma outra questão alí, depois retorno para essa

[thetruth]

Olá thetruth, confesso que essa é muito trabalhosa! Vou resolver uma outra questão alí, depois retorno para essa

blz

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,0)-f(0,0)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{2(∆x)^5}{(∆x)^2+0^2}-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{2(∆x)^3}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2(∆x)^2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,0)-f(0,0)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{2(∆x)^5}{(∆x)^2+0^2}-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{2(∆x)^3}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2(∆x)^2=0[/tex3]

Ainda,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,0+∆y)-f(0,0)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,0+∆y)-f(0,0)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Fazendo o limite ( Proposição: uma condição suficiente para diferenciabilidade ), temos que

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{f(x,y)-\{f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[x-0]+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[y-0]\}}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}[/tex3]

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[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{f(x,y)-\{f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[x-0]+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[y-0]\}}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}[/tex3]

Vem,

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

Assim , existem as derivadas [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/tex3]

e [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[/tex3]

e L = 0. Portanto a função dada é diferenciável em ( 0 , 0 ).






Bons estudos!

[thetruth]

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

porque aqui da 0? , não seria uma indeterminação 0/0??

eu continuo não entendendo esse assunto

[thetruth]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,0)-f(0,0)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{2(∆x)^5}{(∆x)^2+0^2}-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{2(∆x)^3}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2(∆x)^2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,0)-f(0,0)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{2(∆x)^5}{(∆x)^2+0^2}-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{2(∆x)^3}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2(∆x)^2=0[/tex3]

Ainda,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,0+∆y)-f(0,0)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,0+∆y)-f(0,0)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Fazendo o limite ( Proposição: uma condição suficiente para diferenciabilidade ), temos que

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{f(x,y)-\{f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[x-0]+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[y-0]\}}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{f(x,y)-\{f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[x-0]+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[y-0]\}}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}[/tex3]

Vem,

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\frac{\frac{2x^5}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \rightarrow \{(0,0)}\frac{2x^5}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0(usando \ a \ definição \ de \ limites)[/tex3]

Assim , existem as derivadas [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/tex3]

e [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)[/tex3]

e L = 0. Portanto a função dada é diferenciável em ( 0 , 0 ).






Bons estudos!

eu cheguei aí onde você chegou, mas eu não entendo porque o resultado é 0. outra coisa, porque você passou o [tex3]x^{2}+y^2 [/tex3]

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[tex3]x^{2}+y^2 [/tex3]

que estava dividindo e multiplicou com o [tex3]\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

???