Ensino Superior ⇒ Área Coordenadas Polares Tópico resolvido

[Tisklaus]

<r>Precisaria de uma explicação detalhada sobre essa questão.<br/>
Calcular a área da rosácea, cuja equação é: [tex3]r=3sen(2\theta )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=3sen(2\theta )[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

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Analisando a figura acima, basta calcularmos a área de uma pétala ( primeiro quadrante ) e multiplicarmos por quatro ( 4 ), assim , teremos a área total da rosácea [tex3]r=3sen(2\theta )[/tex3]

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[tex3]r=3sen(2\theta )[/tex3]

, a fórmula a ser utilizada é:

[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{a}^{b}[f(\theta )]^2d\theta [/tex3]

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[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{a}^{b}[f(\theta )]^2d\theta [/tex3]

Como vamos calcular a área de uma pétala no primeiro quadrante, então , os limites de integração são a = 0 e b = π/2. Logo;

[tex3]A=4.\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[3sen(2\theta )]^2d\theta [/tex3]

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[tex3]A=4.\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[3sen(2\theta )]^2d\theta [/tex3]

[tex3]A=18.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}sen^2(2\theta )d\theta =\frac{9π}{2}u.a.[/tex3]

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[tex3]A=18.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}sen^2(2\theta )d\theta =\frac{9π}{2}u.a.[/tex3]

Obs.1 O desenvolvimento dos cálculos ficará como exercício para você

Obs.2 A maneira de esboçar o gráfico, você encontra facilmente no Google ( YouTube ).

Obs.3 Rosáceas : São equações do tipo : [tex3]r=asen(n\theta )[/tex3]

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[tex3]r=asen(n\theta )[/tex3]

ou [tex3]r=acos(n\theta )[/tex3]

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[tex3]r=acos(n\theta )[/tex3]

, a [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

e n [tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]

. Então,

• Se n é par , temos uma rosácea de 2n pétalas

• Se n é ímpar , temos uma rosácea de n pétalas




Bons estudos!