máximos e mínimos locais e globais
[tex3]f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Estude da função Tópico resolvido
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Dez 2019
17
15:38
Re: Estude da função
[tex3]f(x)=\frac{1}{1+x^2}\\1+x^2>0\hspace{1mm}\forall x\in\mathbb{R}\\ \implies D_f=\mathbb{R}[/tex3]
[tex3]f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}[/tex3]
Vamos procurar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]
[tex3]f'(x)=0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}=0 \iff -2x=0\iff x=0 [/tex3]
Vamos estudar o sinal de [tex3]f'[/tex3]
[tex3]f'(x)>0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}>0 \iff-2x>0\iff x<0[/tex3]
[tex3]f'(x)<0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}<0 \iff-2x<0\iff x>0[/tex3]
Para essa parte usamos que [tex3](1+x^2)^2>0\hspace{2mm}\forall x\in\mathbb{R}[/tex3]
Daí temos:
[tex3]f[/tex3] é estritamente crescente no intervalo [tex3](-\infty,0)[/tex3]
[tex3]f[/tex3] é estritamente decrescente no intervalo [tex3](0, +\infty)[/tex3]
[tex3]\therefore x=0[/tex3] é ponto de máximo global de [tex3]f[/tex3] .
[tex3]f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}[/tex3]
Vamos procurar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]
[tex3]f'(x)=0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}=0 \iff -2x=0\iff x=0 [/tex3]
Vamos estudar o sinal de [tex3]f'[/tex3]
[tex3]f'(x)>0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}>0 \iff-2x>0\iff x<0[/tex3]
[tex3]f'(x)<0\iff -\frac{2x}{(1+x^2)^2}<0 \iff-2x<0\iff x>0[/tex3]
Para essa parte usamos que [tex3](1+x^2)^2>0\hspace{2mm}\forall x\in\mathbb{R}[/tex3]
Daí temos:
[tex3]f[/tex3] é estritamente crescente no intervalo [tex3](-\infty,0)[/tex3]
[tex3]f[/tex3] é estritamente decrescente no intervalo [tex3](0, +\infty)[/tex3]
[tex3]\therefore x=0[/tex3] é ponto de máximo global de [tex3]f[/tex3] .
Saudações.
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