Ensino Superior ⇒ Diferenciabilidade da Função Utilizando a Definição Tópico resolvido

[thetruth]

Use a definição para verificar se as funções abaixo são diferenciáveis na origem.

a) [tex3]f(x,y)= \sqrt{x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)= \sqrt{x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}} [/tex3]

Não tenho certeza de como fazer essa, mas eis o que fiz.

[tex3]\lim_{h,k \rightarrow 0,0}\frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-1h-1k}{||(h,k)||}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h,k \rightarrow 0,0}\frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-1h-1k}{||(h,k)||}[/tex3]

daí [tex3]\lim_{h,k \rightarrow 0,0}\frac{(0+h+0+k)-(0+0)-h-k}{||(h,k)||}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h,k \rightarrow 0,0}\frac{(0+h+0+k)-(0+0)-h-k}{||(h,k)||}[/tex3]

daí fica [tex3]\frac{0}{||(h,k)||}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{0}{||(h,k)||}[/tex3]

Como h e k tendem a 0 a resposta é 0.

Pelo menos foi assim que fiz.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Primeiramente vamos verificar se existem as derivadas parciais na origem. Se existir, temos que

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{x^{\frac{2}{3}}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{x^{\frac{2}{3}}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

Como esse limite não existe, segue que a função não é diferenciável na origem.



Bons estudos!

[thetruth]

Observe

Solução:

Primeiramente vamos verificar se existem as derivadas parciais na origem. Se existir, temos que

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{x^{\frac{2}{3}}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{\sqrt{x^{\frac{2}{3}}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

Como esse limite não existe, segue que a função não é diferenciável na origem.



Bons estudos!

como o limite não existe em x eu não preciso nem fazer em y, certo?

como eu faria se fosse f(x,y) = x+y por exemplo?

[Cardoso1979]

como o limite não existe em x eu não preciso nem fazer em y, certo?

Perfeito amigo