Ensino Superior

Seja [tex3]n>0[/tex3] um natural. Prove que [tex3]f(x) = x^n[/tex3] é contínua.

Olá mandycorrea, assim que eu encontrar um tempinho , resolverei esta questão

Observe

Prova:

Seja p um real dado. Precisamos provar que dado ϵ > 0 , existe um intervalo aberto I contendo p tal que, para todo x , x ∈ I ⇒ [tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon [/tex3] .

1° Caso: n é ímpar.

Sendo n ímpar, temos:

[tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon ⇔ \sqrt[n]{p^{n}-\epsilon} < x < \sqrt[n]{p^n + \epsilon }[/tex3]

Tomando-se [tex3]I=] \sqrt[n]{p^{n}-\epsilon} \ , \ \sqrt[n]{p^n + \epsilon }[[/tex3] , tem-se , para todo x , x ∈ I ⇒ [tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon [/tex3] . Logo, f( x ) = x [tex3]^{n}[/tex3] é contínua em todo p real, ou seja , f é uma função contínua.

2° Caso. n par.

Analisemos inicialmente o caso p = 0. Para todo ϵ > 0 dado, temos [tex3]0^{n}-\epsilon < x^n < 0^n + \epsilon ⇔ |x|<\sqrt[n]{\epsilon }
⇔ - \sqrt[n]{\epsilon } < x < \sqrt[n]{\epsilon } [/tex3] . Tomando-se , então , [tex3]I=] - \sqrt[n]{\epsilon } \ , \ \sqrt[n]{\epsilon } \ [[/tex3] tem-se x ∈ I ⇒ [tex3]0^{n}-\epsilon < x^n < 0^n + \epsilon [/tex3] . Logo, f( x ) = x [tex3]^{n}[/tex3] é contínua em p = 0.

Suponhamos, agora , p ≠ 0 . Para todo ϵ > 0 , com ϵ < p [tex3]^{n}[/tex3] , temos
[tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon ⇔ \sqrt[n]{p^{n}-\epsilon} < |x| < \sqrt[n]{p^n + \epsilon }[/tex3] .

Se p > 0 , tomando-se [tex3]I=] \sqrt[n]{p^{n}-\epsilon} \ , \ \sqrt[n]{p^n + \epsilon }[[/tex3] , tem-se x ∈ I ⇒ [tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon [/tex3] .

Se p < 0, tomando-se [tex3]I=]- \sqrt[n]{p^{n}+\epsilon} \ , \ -\sqrt[n]{p^n - \epsilon }[[/tex3] , tem-se x ∈ I ⇒ [tex3]p^{n}-\epsilon < x^n < p^n + \epsilon [/tex3] . Logo, f( x ) = x [tex3]^{n}[/tex3] é contínua em todo p ≠ 0.

Portanto, provamos que para todo n > 0 um natural, [tex3]f(x) = x^n[/tex3] é contínua. C.q.p.

Bons estudos!

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