Ensino Superior ⇒ Questão 2 - Análise Real Tópico resolvido

[magben]

Prove que todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente, tem ínfimo.

[Cardoso1979]

Olá magben, vou preparar a "redação" , assim que eu tiver um tempinho eu volto para resolver.

[Cardoso1979]

Observe

Prova:

Sejam A ⊂ IR um conjunto limitado inferiormente e x uma cota inferior de A. Assim, x ≤ a, para todo a ∈ A , e daí - x ≥ - a , para todo a ∈ A. Designando por - A o conjunto - A = { - a ; a ∈ A } observa-se , em virtude de - x ≥ - a , que - A é limitado superiormente. Pelo Postulado de Dedekind, - A possui supremo. Mostremos que sup( - A ) = - inf A. De fato, chamando y = sup ( - A ), teremos y ≥ - a, para todo a ∈ A e daí - y ≤ a, para todo a ∈ A , o que implica que - y é cota inferior do conjunto A. Deve-se mostrar que ela é a maior de suas cotas inferiores. Seja t uma cota inferior de A, isto é , t ≤ a , para todo a ∈ A. Logo, - t ≥ - a e assim - t é cota superior do conjunto - A e pela definição de supremo - t ≥ y e então t ≤ - y , isto é , - y é a maior das cotas inferiores de A. Portanto, todo conjunto não-vazio de números reais, limitado inferiormente , possui ínfimo. C.q.p.



Bons estudos!