Ensino Superior ⇒ limite funções de 2 variáveis Tópico resolvido

[thetruth]

como faço essa questão aqui??

calcule
[tex3]\lim_{h,k\rightarrow 0,0}\frac{f(h,k)}{|(h,k)|},\ onde\ f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}[/tex3]

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[tex3]\lim_{h,k\rightarrow 0,0}\frac{f(h,k)}{|(h,k)|},\ onde\ f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)}{||(h,k)||}=\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}
\frac{h^3}{\sqrt{(h^2+k^2)^3}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)}{||(h,k)||}=\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}
\frac{h^3}{\sqrt{(h^2+k^2)^3}}[/tex3]

Seja [tex3]\phi (h,k)=\frac{h^3}{\sqrt{(h^2+k^2)^3}}[/tex3]

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[tex3]\phi (h,k)=\frac{h^3}{\sqrt{(h^2+k^2)^3}}[/tex3]

Tomemos [tex3]\gamma _{1}(t)=(t,0) \ e \ \gamma _{2}(t)=(t,t) [/tex3]

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[tex3]\gamma _{1}(t)=(t,0) \ e \ \gamma _{2}(t)=(t,t) [/tex3]

Daí;

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}\phi (\gamma _{1}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{t^3}=\lim_{t \rightarrow \ 0}1=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}\phi (\gamma _{1}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{t^3}=\lim_{t \rightarrow \ 0}1=1[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}\phi (\gamma _{2}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{\sqrt{(2t^2)^3}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{2t^3\sqrt{2}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow \ 0}\phi (\gamma _{2}(t))=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{\sqrt{(2t^2)^3}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{t^3}{2t^3\sqrt{2}}=\lim_{t \rightarrow \ 0}\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex3]

Como os valores dos limites encontrados são diferentes, portanto não existe [tex3]\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)}{||(h,k)||}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)}{||(h,k)||}[/tex3]

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Bons estudos!