Ensino Superior ⇒ Derivadas utilizando a Definição Tópico resolvido

[thetruth]

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
x^2y\sen(1/y);\ x\neq 0 \\
0;\ x=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
x^2y\sen(1/y);\ x\neq 0 \\
0;\ x=0
\end{cases}[/tex3]

Use a definição para determinar [tex3]\frac{∂f }{∂x }(0,2)\ e\ \frac{∂f }{∂y }(0,2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{∂f }{∂x }(0,2)\ e\ \frac{∂f }{∂y }(0,2)[/tex3]

[thetruth]

eis o que fiz.

[tex3]\frac{(x+h)^2.ysen(\frac{1}{x})-[x^2ysen\frac{1}{x}]}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x+h)^2.ysen(\frac{1}{x})-[x^2ysen\frac{1}{x}]}{h}[/tex3]

=

[tex3]\frac{(x^2+2xh+h^2).ysen\left(\frac{1}{x}\right)-x^2ysen\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x^2+2xh+h^2).ysen\left(\frac{1}{x}\right)-x^2ysen\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex3]

=

[tex3]\frac{2xysen\left(\frac{1}{x}\right).h+h^2ysen\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2xysen\left(\frac{1}{x}\right).h+h^2ysen\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex3]

dai coloco o h em evidencia e o resultado fica


[tex3]2xysen\left(\frac{1}{x}\right)+hysen\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

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[tex3]2xysen\left(\frac{1}{x}\right)+hysen\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

daí substituindo nos pontos de x e y fica

0.sen [tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

+0sen [tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

0 multipllicado por uma função limitada é 0, logo o resultado é 0.

não sei se está certo, mas foi por aí que consegui chegar no resultado

[thetruth]

f(x,y)[tex3]\begin{cases}
x^2ysen(1/y);\ x\neq 0 \\
0;\ x=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x^2ysen(1/y);\ x\neq 0 \\
0;\ x=0
\end{cases}[/tex3]

use a definição para determinar [tex3]\frac{∂f }{∂x }(0,2)\ e\ \frac{∂f }{∂y }(0,2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{∂f }{∂x }(0,2)\ e\ \frac{∂f }{∂y }(0,2)[/tex3]

na verdade é sen [tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

e não [tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,2)-f(0,2)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(∆x)^2.2.sen\left(\frac{1}{∆x}\right)-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2∆xsen\left(\frac{1}{∆x}\right)=0(teorema \ do \ anulamento)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,2)-f(0,2)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(∆x)^2.2.sen\left(\frac{1}{∆x}\right)-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2∆xsen\left(\frac{1}{∆x}\right)=0(teorema \ do \ anulamento)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,2+∆y)-f(0,2)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,2+∆y)-f(0,2)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Bons estudos!

[thetruth]

Observe

Solução:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,2)-f(0,2)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(∆x)^2.2.sen\left(\frac{1}{∆x}\right)-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2∆xsen\left(\frac{1}{∆x}\right)=0(teorema \ do \ anulamento)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{f(0+∆x,2)-f(0,2)}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(∆x)^2.2.sen\left(\frac{1}{∆x}\right)-0}{∆x}=\lim_{∆x \rightarrow \ 0}2∆xsen\left(\frac{1}{∆x}\right)=0(teorema \ do \ anulamento)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,2+∆y)-f(0,2)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{f(0,2+∆y)-f(0,2)}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}\frac{0-0}{∆y}=\lim_{∆y \rightarrow \ 0}0=0[/tex3]

Bons estudos!

valeu

[Cardoso1979]

valeu