Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias Tópico resolvido
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PUDIMMARCOS
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Nov 2019
07
12:41
Equações Diferenciais Ordinárias
Suponha que o sistema descrito pela equação [tex3]mx''(t)+\gamma x'(t)+kx=0[/tex3]
tem amortecimento crítico ou está superamortecido. Mostre que, independentemente das condições iniciais, a massa pode passar por sua posição de equilíbrio no máximo uma vez. Sugestão: determine todos os possíveis valores de [tex3]t[/tex3]
para os quais [tex3]x=0[/tex3]
.
Editado pela última vez por caju em 07 Nov 2019, 13:54, em um total de 1 vez.
Razão: retirar caps lock do título.
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AnthonyC
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Out 2021
24
08:28
Re: Equações Diferenciais Ordinárias
Um sistema tem amortecimento crítico quando seu polinômio característico tem discriminante igual a zero. Vamos encontrar as raízes do polinômio:
[tex3]mr^2+\gamma r+k=0[/tex3]
[tex3]r={-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}\over 2m}[/tex3]
Como o amortecimento é crítico, então: [tex3]\gamma^2-4mk=0[/tex3] . Assim, temos:
[tex3]r=-{\gamma\over 2m}[/tex3]
Como temos raiz única, a solução da EDO será dada por:
[tex3]x(t)=C_1e^{ry}+C_2te^{rt}[/tex3]
Vamos agora encontrar os pontos no qual [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]x(t)=C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x(t)=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
[tex3]0=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
Como [tex3]e^{rt}\neq0[/tex3] :
[tex3]0=C_1+C_2t[/tex3]
Se [tex3]C_2=0[/tex3] , então [tex3]C_1=0[/tex3] .Porém, [tex3]x=0[/tex3] , para qualquer valor de [tex3]t[/tex3] , logo, podemos dizer que ele apenas está nesse ponto uma única vez, já que ele não sairá desta posição.
Se [tex3]C_2\neq 0[/tex3] , então [tex3]t_0=-{C_1\over C_2}[/tex3] . Vamos mostrar que essa é a única raiz da função:
[tex3]x'(t)=rC_1e^{rt}+C_2e^{rt}+rC_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x'(t)=e^{rt}(rC_1+C_2+rC_2t)[/tex3]
Sabemos que [tex3]e^{rt}>0,\forall ~~t\in\mathbb{R}[/tex3] . Assim, o sinal de [tex3]x'[/tex3] dependerá apenas da função linear. Vamos estudar seu sinal:
[tex3]rC_1+C_2+rC_2t=0[/tex3]
[tex3]rC_2t=-rC_1-C_2[/tex3]
Sabemos que [tex3]r\neq 0[/tex3] , logo:
[tex3]t_1=-{C_1\over C_2}-{1\over r}[/tex3]
Portanto, a derivada tem apenas uma raiz. Portanto, a função pode mudar de crescimento apenas uma vez. E, como [tex3]r<0[/tex3] , então [tex3][/tex3] [tex3]-{C_1\over C_2}-{1\over r}>-{C_1\over C_2}[/tex3] . Portanto, a mudança de crescimento ocorre após a raiz. Façamos o seguinte cálculo:
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(-{C_1\over C_2}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}C_2[/tex3]
Como [tex3]e^{-r{C_1\over C_2}}>0[/tex3] , o sinal dependerá de [tex3]C_2[/tex3] . Dividimos então em dois casos:
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será decrescente após [tex3]t_1[/tex3] . Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é decrescente após [tex3]t_1[/tex3] , em conjunto do fato que está não muda de crescimento após isso seu limite ser zero, implica que a função é positiva para [tex3]t>t_1[/tex3] . E como a função é estritamente crescente para [tex3]t< t_1[/tex3] , então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será crescente após [tex3]t_1[/tex3] . Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é crescente após [tex3]t_1[/tex3] , em conjunto do fato que esta não muda de crescimento após isso e seu limite ser zero, implica que a função é negativa para [tex3]t>t_1[/tex3] . E como a função é estritamente decrescente para [tex3]t< t_1[/tex3] , então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].
[tex3]mr^2+\gamma r+k=0[/tex3]
[tex3]r={-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}\over 2m}[/tex3]
Como o amortecimento é crítico, então: [tex3]\gamma^2-4mk=0[/tex3] . Assim, temos:
[tex3]r=-{\gamma\over 2m}[/tex3]
Como temos raiz única, a solução da EDO será dada por:
[tex3]x(t)=C_1e^{ry}+C_2te^{rt}[/tex3]
Vamos agora encontrar os pontos no qual [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]x(t)=C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x(t)=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
[tex3]0=e^{rt}(C_1+C_2t)[/tex3]
Como [tex3]e^{rt}\neq0[/tex3] :
[tex3]0=C_1+C_2t[/tex3]
Se [tex3]C_2=0[/tex3] , então [tex3]C_1=0[/tex3] .Porém, [tex3]x=0[/tex3] , para qualquer valor de [tex3]t[/tex3] , logo, podemos dizer que ele apenas está nesse ponto uma única vez, já que ele não sairá desta posição.
Se [tex3]C_2\neq 0[/tex3] , então [tex3]t_0=-{C_1\over C_2}[/tex3] . Vamos mostrar que essa é a única raiz da função:
[tex3]x'(t)=rC_1e^{rt}+C_2e^{rt}+rC_2te^{rt}[/tex3]
[tex3]x'(t)=e^{rt}(rC_1+C_2+rC_2t)[/tex3]
Sabemos que [tex3]e^{rt}>0,\forall ~~t\in\mathbb{R}[/tex3] . Assim, o sinal de [tex3]x'[/tex3] dependerá apenas da função linear. Vamos estudar seu sinal:
[tex3]rC_1+C_2+rC_2t=0[/tex3]
[tex3]rC_2t=-rC_1-C_2[/tex3]
Sabemos que [tex3]r\neq 0[/tex3] , logo:
[tex3]t_1=-{C_1\over C_2}-{1\over r}[/tex3]
Portanto, a derivada tem apenas uma raiz. Portanto, a função pode mudar de crescimento apenas uma vez. E, como [tex3]r<0[/tex3] , então [tex3][/tex3] [tex3]-{C_1\over C_2}-{1\over r}>-{C_1\over C_2}[/tex3] . Portanto, a mudança de crescimento ocorre após a raiz. Façamos o seguinte cálculo:
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(-{C_1\over C_2}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_0\)=e^{-r{C_1\over C_2}}C_2[/tex3]
Como [tex3]e^{-r{C_1\over C_2}}>0[/tex3] , o sinal dependerá de [tex3]C_2[/tex3] . Dividimos então em dois casos:
- [tex3]C_2>0[/tex3] :
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será decrescente após [tex3]t_1[/tex3] . Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é decrescente após [tex3]t_1[/tex3] , em conjunto do fato que está não muda de crescimento após isso seu limite ser zero, implica que a função é positiva para [tex3]t>t_1[/tex3] . E como a função é estritamente crescente para [tex3]t< t_1[/tex3] , então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].
- [tex3]C_2<0[/tex3] :
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(rC_1+C_2+rC_2\cdot\(t_1-{1\over r}\)\)[/tex3]
[tex3]x'\(t_1-{1\over r}\)=e^{r\(t_1-{1\over r}\)}\(-C_2\)[/tex3]
Assim, a função será crescente após [tex3]t_1[/tex3] . Verifiquemos agora seus limites:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=\lim_{t\rightarrow \infty}C_1e^{rt}+C_2te^{rt}[/tex3]
Como [tex3]r<0[/tex3] , temos:
[tex3]\lim_{t\rightarrow \infty}x=0[/tex3]
Como a função é crescente após [tex3]t_1[/tex3] , em conjunto do fato que esta não muda de crescimento após isso e seu limite ser zero, implica que a função é negativa para [tex3]t>t_1[/tex3] . E como a função é estritamente decrescente para [tex3]t< t_1[/tex3] , então sua única raiz é [tex3]t=t_0[/tex3].
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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