Ensino Superior ⇒ Função Diferenciável Tópico resolvido

[thetruth]

Seja [tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

uma função diferenciável e defina

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Mostre que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

como resolvo essa questão??

[thetruth]

o ϕ está multiplicando o [tex3]\left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=[/tex3]

[tex3]x.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}+y.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}+y.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}=[/tex3]

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Logo,

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

C.q.m.


Obs. [tex3]\phi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi [/tex3]

→ constante.


Bons estudos!

[thetruth]

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

cheguei até essa parte e não consegui enxergar a resposta

[thetruth]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

ali não era [tex3]\frac{x}{y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{y^2}[/tex3]

? como ficou [tex3]\frac{x}{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{y}[/tex3]

??

não entendi essa passagem.

for porque multiplicou por y?? ficando [tex3]\frac{yx}{y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{yx}{y^2}[/tex3]

??

[thetruth]

Observe

Solução:

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=[/tex3]

[tex3]x.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}+y.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}+y.\{(x^2+y^2)'.\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[\phi \left(\frac{x}{y}\right)]'\}=[/tex3]

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\{(2x+0).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi \left(\frac{1}{y}\right)\}+y.\{(0+2y).\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).[-\phi \left(\frac{x}{y^2}\right)]\}=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-
\cancel{(x^2+y^2).\phi \left(\frac{x}{y}\right)}=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Logo,

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

C.q.m.


Obs. [tex3]\phi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi [/tex3]

→ constante.


Bons estudos!

obrigado pela resposta

[Cardoso1979]

obrigado pela resposta

Disponha

[Cardoso1979]

Seja [tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

uma função diferenciável e defina

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Mostre que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

como resolvo essa questão??

Nossa! Que falta de atenção minha! Ora , no início da pergunta ele fala que o [tex3]\phi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi [/tex3]

é uma função diferenciável portanto NÃO é uma constante como eu afirmei acima! Por coincidência o resultado da demonstração deu "certo" , mais NÃO está correto! A demonstração correta é:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=2x\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{1}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=2x\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{1}{y}\right)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2y\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{x}{y^2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2y\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{x}{y^2}\right)[/tex3]

Substituindo em [tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}[/tex3]

, fica;

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{xy}{y^2}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{xy}{y^2}\right)=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}=[/tex3]

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Logo,

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

C.q.m.





Obs.1 Algum moderador poderia fazer a gentileza de transferir a marcação da resposta correta para esta, para que futuramente alguém não copiei a resposta errada acima( no caso a primeira resposta )!

Obs. 2 Foi um absurdo o que eu fiz na primeira solução, jamais façam aquilo ( [tex3]\phi \left(\frac{x.y}{y^2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi \left(\frac{x.y}{y^2}\right)[/tex3]

) → isso não é possível.

Obs.3 [tex3]\phi ' \left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi ' \left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

trata-se de uma "derivada implicitamente de uma função".


Bons estudos! E desculpe-me pelo equívoco!

[thetruth]

Seja [tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ϕ : \Re\to\Re[/tex3]

uma função diferenciável e defina

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y) = (x^{2}+y^2)ϕ\left(\frac{x}{y}\right),\ se\ y\neq 0[/tex3]

Mostre que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{
∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}=2f[/tex3]

como resolvo essa questão??

Nossa! Que falta de atenção minha! Ora , no início da pergunta ele fala que o [tex3]\phi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi [/tex3]

é uma função diferenciável portanto NÃO é uma constante como eu afirmei acima! Por coincidência o resultado da demonstração deu "certo" , mais NÃO está correto! A demonstração correta é:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=2x\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{1}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=2x\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{1}{y}\right)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2y\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{x}{y^2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2y\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2)\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{x}{y^2}\right)[/tex3]

Substituindo em [tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\frac{∂f }{∂x}+y\frac{∂f}{∂y}[/tex3]

, fica;

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{xy}{y^2}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(-\frac{xy}{y^2}\right)=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right).\left(\frac{x}{y}\right)=[/tex3]

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}+2y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)-\cancel{\frac{x.(x^2+y^2).\phi '\left(\frac{x}{y}\right)}{y}}=[/tex3]

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[x^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)+y^2\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=[/tex3]

Logo,

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.[(x^2+y^2)\phi \left(\frac{x}{y}\right)]=2.f[/tex3]

C.q.m.





Obs.1 Algum moderador poderia fazer a gentileza de transferir a marcação da resposta correta para esta, para que futuramente alguém não copiei a resposta errada acima( no caso a primeira resposta )!

Obs. 2 Foi um absurdo o que eu fiz na primeira solução, jamais façam aquilo ( [tex3]\phi \left(\frac{x.y}{y^2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi \left(\frac{x.y}{y^2}\right)[/tex3]

) → isso não é possível.

Obs.3 [tex3]\phi ' \left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\phi ' \left(\frac{x}{y}\right)[/tex3]

trata-se de uma "derivada implicitamente de uma função".


Bons estudos! E desculpe-me pelo equívoco!

sem problemas, já alterei a marcação de resposta correta

[thetruth]

Cardoso1979, você poderia dar uma olhada no meu post de derivada parcial pela definição?