Prove: [tex3]\lim_{x \rightarrow p}f(x)=L[/tex3]
Sugestão:
Verifique que [tex3]||f(x)|-|L||\leq |f(x)-L|[/tex3]
implica que [tex3]\lim_{x \rightarrow p}|f(x)|= |L|.[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Guidorizzi Vol1 - Teorema do Confronto Tópico resolvido
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Guidorizzi Vol1 - Teorema do Confronto
Última edição: mandycorrea (Qua 06 Nov, 2019 10:39). Total de 1 vez.
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Nov 2019
06
12:16
Re: Guidorizzi Vol1 - Teorema do Confronto
Observe
Uma prova:
Por hipótese, temos que;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}f(x)=L⟺\lim_{x \rightarrow \ p}(f(x)-L)=0[/tex3]
Perceba que | f( x ) | = | f( x ) - L + L | , como f( x ) - L é um termo e L outro termo, aplicamos então a desigualdade triangular, vem;
| f( x ) | = | f( x ) - L + L | ≤ | f( x ) - L | + | L | →
| f( x ) | ≤ | f( x ) - L | + | L | →
| f( x ) | - | L | ≤ | f( x ) - L |
Note que, se eu "coloco" um sinal negativo ( - ) em | f( x ) - L | , teremos a seguinte situação:
- | f( x ) - L | ≤ | f( x ) | - | L | ≤ | f( x ) - L |
Passando o limite na desigualdade acima, com x tendendo a p , temos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}-|f(x)-L|≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-|L|≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)-L|[/tex3]
Pela hipótese;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}-|f(x)-L|=0 \ e \
\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)-L|=0[/tex3]
Daí;
[tex3]0≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-|L|≤0[/tex3]
Pelo teorema do confronto, resulta;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}(|f(x)|-|L|)=0[/tex3]
Assim,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-\lim_{x \rightarrow \ p}|L|=0[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|=\lim_{x \rightarrow \ p}|L|[/tex3]
Logo,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|=|L|[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow p}f(x)=L[/tex3] implica que [tex3]\lim_{x \rightarrow p}|f(x)|= |L|.[/tex3] C.q.p.
Bons estudos!
Uma prova:
Por hipótese, temos que;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}f(x)=L⟺\lim_{x \rightarrow \ p}(f(x)-L)=0[/tex3]
Perceba que | f( x ) | = | f( x ) - L + L | , como f( x ) - L é um termo e L outro termo, aplicamos então a desigualdade triangular, vem;
| f( x ) | = | f( x ) - L + L | ≤ | f( x ) - L | + | L | →
| f( x ) | ≤ | f( x ) - L | + | L | →
| f( x ) | - | L | ≤ | f( x ) - L |
Note que, se eu "coloco" um sinal negativo ( - ) em | f( x ) - L | , teremos a seguinte situação:
- | f( x ) - L | ≤ | f( x ) | - | L | ≤ | f( x ) - L |
Passando o limite na desigualdade acima, com x tendendo a p , temos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}-|f(x)-L|≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-|L|≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)-L|[/tex3]
Pela hipótese;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}-|f(x)-L|=0 \ e \
\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)-L|=0[/tex3]
Daí;
[tex3]0≤\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-|L|≤0[/tex3]
Pelo teorema do confronto, resulta;
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}(|f(x)|-|L|)=0[/tex3]
Assim,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|-\lim_{x \rightarrow \ p}|L|=0[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|=\lim_{x \rightarrow \ p}|L|[/tex3]
Logo,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}|f(x)|=|L|[/tex3]
Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow p}f(x)=L[/tex3] implica que [tex3]\lim_{x \rightarrow p}|f(x)|= |L|.[/tex3] C.q.p.
Bons estudos!
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Nov 2019
06
12:21
Re: Guidorizzi Vol1 - Teorema do Confronto
Olha só o que eu encontrei em um outro fórum, o usuário ( rca-PI ) sou eu , exatamente isso , porém faz mais de dez anos que não participo mais do fórum "Yahoo".
https://www.google.com/amp/s/br.answers ... 724AAmlRaQ
Abraços!
https://www.google.com/amp/s/br.answers ... 724AAmlRaQ
Abraços!
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