Ensino Superior

Baguncinha

Considere a transformação linear T:[tex3]\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4[/tex3] dada, por multiplicação à esquerda pela matriz
A=[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
2 & -5 & -4 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Obtenha uma base para kerT.
Resolvi o sistema linear dado por [tex3]\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
\end{pmatrix}[/tex3] multiplicado pela matriz A, igualando a 0 e resolvendo o sistema linear associado.
Cheguei em:
a=[tex3]\frac{d}{3} + \frac{8c}{3}[/tex3]
b=[tex3]\frac{-2c}{3} - \frac{d}{3}[/tex3]
Como seria a base associada do kernel?

Observe

Uma solução:

Eu encontrei os seguintes resultados : b = - 2a -
3d e c = 3a + 4d , então , um núcleo para T é :

[tex3]Ker(T)=\{(a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4/b=-2a-3d \ e \ c=3a+4d \}[/tex3]

Vamos agora determinar uma base para Ker(T), temos que

[tex3]Ker(T)=\{(a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4/(a,-2a-3d,3a+4d,d) \}[/tex3]

[tex3]Ker(T)=\{(a,-2a-3d,3a+4d,d) \}[/tex3]

[tex3]Ker(T)=\{a.(1,-2,3,0)+d.(0,-3,4,1) \}[/tex3]

Assim, uma possível base para Ker ( T ) é :

[tex3]\beta =\{(1,-2,3,0),(0,-3,4,1)\}[/tex3]

Para você verificar se [tex3]\beta [/tex3] é realmente uma base , temos que verificar se os dois vetores são L.I. , e se os mesmos são geradores do IR⁴.

[tex3]\alpha.(1,-2,3,0)+ \beta .(0,-3,4,1)=(0,0,0,0)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\alpha =0 \\
-2\alpha -3\beta =0 \\
3\alpha +4\beta =0 \\
\beta =0
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\alpha =0 \\
0 =0 \\
0=0 \\
\beta =0
\end{cases}[/tex3]

Como [tex3]\alpha = \beta =0[/tex3] , os dois vetores são L.I.

Por outro lado,

[tex3](a,-2a-3d,3a+4d,d)=\alpha.(1,-2,3,0)+ \beta .(0,-3,4,1)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\alpha =a \\
-2\alpha -3\beta =-2a-3d \\
3\alpha +4\beta =3a+4d \\
\beta =d
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\alpha =a \\
0=0 \\
0=0 \\
\beta =d
\end{cases}[/tex3]

Logo, os dois vetores são geradores , ou seja , podemos escrever o vetor ( a , - 2a - 3d , 3a
+ 4d , d ) em função dos outros dois vetores.

Obs.1 Se por acaso encontrássemos [tex3]\alpha =\beta [/tex3] ou [tex3]\alpha =d\beta [/tex3] , isso só uma hipótese , aí os dois vetores não seriam geradores e consequentemente também não formariam uma base.

Obs.2 O principal objetivo de se provar que geram é isolar o "valor" de [tex3]\alpha [/tex3] e o "valor" de [tex3]\beta [/tex3] .

Portanto, como os dois vetores são L.I. e geradores , logo eles constituem uma base para Ker ( T ) , ou seja , uma base para Ker ( T ) é : [tex3]\beta =\{(1,-2,3,0),(0,-3,4,1)\}[/tex3] .

Bons estudos!

Baguncinha

Muito obrigado, Cardoso1979. Minha maior dificuldade era em transitar da quarta para a quinta etapa.

Baguncinha escreveu: ↑
Seg 04 Nov, 2019 00:04
Muito obrigado, Cardoso1979. Minha maior dificuldade era em transitar da quarta para a quinta etapa.

Disponha

Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear, dimensão do kernel Tópico resolvido

Álgebra Linear, dimensão do kernel

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