Ensino Superior ⇒ Derivação implícita - Reta tangente Tópico resolvido

[wandsspider]

Olá, primeira vez postando por aqui pq estou com uma grande dúvida em uma questão de Derivação Implícita da lista de exercícios doo Leithold 3ed.

Cap. 3.9:
Q39: Em que ponto da curva [tex3]x+\sqrt{xy}+y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\sqrt{xy}+y=1[/tex3]

a reta tangente é paralela ao eixo x?

Gabarito do livro

Resposta

---

[tex3](1,0),(\frac{1}{3},\frac{4}{3})[/tex3]

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[tex3](1,0),(\frac{1}{3},\frac{4}{3})[/tex3]

.

Eu derivo a função, isolo [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

e como ele pede a reta paralela eu igualo a 0 e chego em 4x = y. Mas eu não entendo como se chega na resposta do livro, já substituí na equação original mas não obtive os mesmos resultados. O que eu não estou entendo? Agradeço desde já quem se dispuser a responder.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Podemos escrever esta função x + √(xy) + y = 1 , da seguinte forma;

xy = ( 1 - x - y )² ( I )

Derivando implicitamente, temos

[tex3]y+x\frac{dy}{dx}=2.(1-x-y).(-1-\frac{dy}{dx}).(II)[/tex3]

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[tex3]y+x\frac{dy}{dx}=2.(1-x-y).(-1-\frac{dy}{dx}).(II)[/tex3]

A reta tangente é paralela ao eixo x quando [tex3]\frac{dy}{dx}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dx}=0[/tex3]

, então , fazendo [tex3]\frac{dy}{dx}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}=0[/tex3]

em ( I I ), resulta y = 2.( x + y - 1 ) , ou seja , y = 2 - 2x. Substituindo y = 2 - 2x em ( I ) , fica;

x.( 2 - 2x ) = ( x - 1 )²

3x² - 4x + 1 = 0

( 3x - 1 ).( x - 1 ) = 0

Onde, x = 1/3 , x = 1 , basta agora substituir esses valores em y = 2 - 2x , e você encontrará respectivamente y = 4/3 e y = 0. Assim, nos pontos ( 1/3 , 4/3 ) e ( 1 , 0 ) , a reta tangente é paralela ao eixo x.



Detalhes adicionais

O gráfico é uma elipse no primeiro quadrante tangente ao eixo y em ( 0 , 1 ) e tangente ao eixo x em ( 1 , 0 ).



Bons estudos!

[wandsspider]

Muito obrigado, nunca pensaria em isolar o xy assim.

[Cardoso1979]

Muito obrigado, nunca pensaria em isolar o xy assim.

Disponha