Alguém poderia me ajudar com a demonstração dessas propriedades.
a) [tex3]A\cup B = B\cup A[/tex3]
b) [tex3](A\cup B)\cup C[/tex3]
= [tex3]A\cup (B\cup C)[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Demonstração de propriedades de conjuntos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2019
28
21:28
Re: Demonstração de propriedades de conjuntos
A ∪ B = B ∪ A; [comutatividade]
A ∪ B = {x| x ∈ A ou x ∈ B} = {x| x ∈ B ou x ∈ A} = B ∪ A
Ou
Seja y ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B). Então y ∈ A ou y ∈ B. Pela equivalência lógica p ν q [tex3]\Leftrightarrow [/tex3] q ν p segue que y ∈ B ou y ∈ A. Logo y ∈ B [tex3]\cup [/tex3] A. Conclui-se que A [tex3]\cup [/tex3] B = B [tex3]\cup [/tex3] A.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); [associatividade]
x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B) ou x ∈ C
⇔ x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C) ⇔ x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∪ (B ∪ C)
Ou
Se x ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B) [tex3]\cup [/tex3] C, então x ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B) ou x ∈ C. Desse modo, x ∈ (A ou B) ou x ∈ C.
Pela equivalência lógica (p ν q) ν r [tex3]\Leftrightarrow[/tex3] p ν (q ν r) segue que x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C). Logo, x ∈ A ou x ∈ (B [tex3]\cup [/tex3] C), isto é, x ∈ A [tex3]\cup [/tex3] (B [tex3]\cup [/tex3] C).
Conclui-se que (A [tex3]\cup [/tex3] B) [tex3]\cup [/tex3] C = A [tex3]\cup [/tex3] (B [tex3]\cup [/tex3] C)
A ∪ B = {x| x ∈ A ou x ∈ B} = {x| x ∈ B ou x ∈ A} = B ∪ A
Ou
Seja y ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B). Então y ∈ A ou y ∈ B. Pela equivalência lógica p ν q [tex3]\Leftrightarrow [/tex3] q ν p segue que y ∈ B ou y ∈ A. Logo y ∈ B [tex3]\cup [/tex3] A. Conclui-se que A [tex3]\cup [/tex3] B = B [tex3]\cup [/tex3] A.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); [associatividade]
x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B) ou x ∈ C
⇔ x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C) ⇔ x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∪ (B ∪ C)
Ou
Se x ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B) [tex3]\cup [/tex3] C, então x ∈ (A [tex3]\cup [/tex3] B) ou x ∈ C. Desse modo, x ∈ (A ou B) ou x ∈ C.
Pela equivalência lógica (p ν q) ν r [tex3]\Leftrightarrow[/tex3] p ν (q ν r) segue que x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C). Logo, x ∈ A ou x ∈ (B [tex3]\cup [/tex3] C), isto é, x ∈ A [tex3]\cup [/tex3] (B [tex3]\cup [/tex3] C).
Conclui-se que (A [tex3]\cup [/tex3] B) [tex3]\cup [/tex3] C = A [tex3]\cup [/tex3] (B [tex3]\cup [/tex3] C)
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