Ensino Superior ⇒ Equação diferencial exata Tópico resolvido

[micsc88]

Boa tarde,
Podem só ajudar me pf, para a resposta adequada ao exercício abaixo.

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Para a equação [tex3]M(x,y)dx+(\sec^2 y-x/y)dy=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M(x,y)dx+(\sec^2 y-x/y)dy=0[/tex3]

, encontre a função [tex3]M(x,y)[/tex3]

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[tex3]M(x,y)[/tex3]

mais geral tal que a equação é exata.

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A minha resolução foi a seguinte:
[tex3]\frac{dM}{dy} = \frac{dN}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{dM}{dy} = \frac{dN}{dx}[/tex3]

Como [tex3]\frac{dN}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{dN}{dx}[/tex3]

=-[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

, logo [tex3]\frac{dM}{dy}[/tex3]

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[tex3]\frac{dM}{dy}[/tex3]

também terá de ser igual a -[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]

.
Logo integrei, então M(x,y) = -ln(y)+C.
Mas M terá de depender das variaveis x e y, e o enunciado pede a solução mais geral, coloquei M(x,y) = -ln y +x.
Está correto?
O que pretendem com "solução mais geral"
Muito obrigada pela ajuda.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

De início façamos [tex3]\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=N(x,y)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=N(x,y)[/tex3]

, então

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=\int\limits_{}^{}[sec^2(y)-\frac{x}{y}]dy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=\int\limits_{}^{}[sec^2(y)-\frac{x}{y}]dy[/tex3]

g( x , y ) = tg( y ) - x.ln( y ) + K( x )

Derivando em relação a x, vem;

[ g( x , y ) ]' = [ tg( y ) - x.ln( y ) + K( x ) ]'

[tex3]\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=-ln(y)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=-ln(y)[/tex3]

Logo, para que a EDO dada seja exata devemos ter :

M( x , y ) = - ln ( y )



Bons estudos!

[micsc88]

O meu erro foi achar que M(x,y) tinha de ser obrigatoriamente função de x e y e não só de y.
Muito obrigada pela ajuda prestada.

[Cardoso1979]

O meu erro foi achar que M(x,y) tinha de ser obrigatoriamente função de x e y e não só de y.
Muito obrigada pela ajuda prestada.

Disponha