O numero de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia segue uma distribuição de
Poisson com = 2 (2 petroleiros por dia). As atuais instalações podem atender, no maximo,
a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso e enviado a outro porto.
(a) Em um dia, qual e a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios
que chegarem pelo menos 95% dos dias?
Ensino Superior ⇒ Distribuição de Poisson Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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09
16:21
Re: Distribuição de Poisson
Observe
Questão extraída do livro ESTATÍSTICA BÁSICA , dos autores WILTON DE O. BUSSAB/PEDRO A. MORETTIN 6° EDIÇÃO. Questão 34 , pág. 158 , capítulo 6.
Uma solução:
(a) Em um dia, qual e a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
Como trata-se de uma distribuição de Poisson com [tex3]\lambda [/tex3] = 2. Então, aplicaremos a seguinte fórmula :
[tex3]P( X = x ) = \frac{e^{-\lambda }.\lambda ^x}{x!}[/tex3]
Daí,
Pr( X > 3 ) = 1 - Pr( X ≤ 3 )
Pr( X > 3 ) = 1 - Pr( X = 0 ) - Pr( X = 1 ) - Pr( X = 2 ) - Pr( X = 3 )
[tex3]Pr (X> 3) = 1-e^{-2}.\left(\frac{2^0}{9!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}\right)[/tex3]
[tex3]Pr(X> 3) = 1-0,135335283.\left(1+2+2+\frac{4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]Pr(X> 3) = 1-0,135335283.\left(\frac{19}{3}\right)[/tex3]
Pr( X > 3 ) = 1 - 0,857123459
Logo,
Pr( X > 3 ) = 0,14287654
Ou
Pr( X > 3 ) ≈ 14,29%
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos 95% dos dias?
Seja k a nova capacidade. Atender a essa capacidade significa que X ≤ k . Como essa probabilidade tem que ser pelo menos 95%, temos que ter:
Pr( X ≤ k ) ≥ 0,95
Na tabela a seguir apresentamos a fdp de uma POI(2).
A nova capacidade deverá ser de cinco ( 5 ) petroleiros, então , devemos acrescentar duas ( 2 )( pois já tínhamos três (3) ) , ou seja , precisamos ter duas(2) instalações a mais para atender os navios que chegarem em pelo menos 95% dos dias.
Uma "outra maneira" de se resolver a letra b).
Como queremos saber de quanto devem ser aumentadas as instalações portuárias para que todos os navios sejam recebidos em, pelo menos, 95% dos dias e temos que X é o nº de navios que chegam ao porto, vamos chamar de [tex3]x_{0}[/tex3] a quantidade de instalações no porto.Então, para que o porto aceite as embarcações, precisamos que X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] .E como se pede que a probalidade de receber os navios seja, no mínimo, 95%, queremos que:
Pr(X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] ) ≥ 95%
Pr(X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] ) ≥ 0,95
Como não conhecemos o valor de [tex3]x_{0}[/tex3] , precisamos encontrar um valor para [tex3]x_{0}[/tex3] em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%
Para isso, utilizaremos o método de tentativas.
De acordo com a letra a), encontramos Pr(X ≤ 3) = 0,857123459.
Assim, vamos tentar os próximos números lógicos X ≤ 4 , 5 ,... até encontrar um valor maior ou igual a 0,95. Temos que
Pr( X ≤ 4 ) = Pr( X ≤ 3 ) + Pr( X = 4 )
[tex3]Pr (X ≤ 4 ) = \frac{19e^{-2}}{3} + \frac{2e^{-2}}{3}[/tex3]
Pr( X ≤ 4 ) = 0,857123459 + 0,090223522
Pr( X ≤ 4 ) = 0,947346981
Perceba que para encontrar o valor de Pr( x ≤ 4 ) fizemos uma tentativa, e obtivemos como resultado o valor de 0,947346981, o que não serve , pois estamos procurando uma probabilidade maior ou igual a 0,95.
Vamos então a mais uma tentativa, vem;
Pr( X ≤ 5 ) = Pr( X ≤ 3 ) + Pr( X ≤ 4 ) + Pr( X = 5 )
[tex3]Pr (X ≤ 5 ) = \frac{19e^{-2}}{3} + \frac{2e^{-2}}{3}+\frac{4e^{-2}}{15}[/tex3]
Pr( X ≤ 5 ) = 0,857123459 + 0,090223522 + 0,036089408
Pr( X ≤ 5 ) = 0,983436389 Ôpa!
Observando que , para encontrar o valor de Pr( x ≤ 5 ) fizemos uma outra tentativa, e obtivemos como resultado o valor de 0,983436389, que é o que queríamos, pois estávamos procurando uma probabilidade maior ou igual a 0,95.
Conclusão:
Como a questão pede quantas instalações devem ser acrescentadas nas três (3) que já existem, então precisamos ter duas(2) instalações a mais para manobrar os navios em 95% dos dias.
Excelente estudo!
Questão extraída do livro ESTATÍSTICA BÁSICA , dos autores WILTON DE O. BUSSAB/PEDRO A. MORETTIN 6° EDIÇÃO. Questão 34 , pág. 158 , capítulo 6.
Uma solução:
(a) Em um dia, qual e a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
Como trata-se de uma distribuição de Poisson com [tex3]\lambda [/tex3] = 2. Então, aplicaremos a seguinte fórmula :
[tex3]P( X = x ) = \frac{e^{-\lambda }.\lambda ^x}{x!}[/tex3]
Daí,
Pr( X > 3 ) = 1 - Pr( X ≤ 3 )
Pr( X > 3 ) = 1 - Pr( X = 0 ) - Pr( X = 1 ) - Pr( X = 2 ) - Pr( X = 3 )
[tex3]Pr (X> 3) = 1-e^{-2}.\left(\frac{2^0}{9!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}\right)[/tex3]
[tex3]Pr(X> 3) = 1-0,135335283.\left(1+2+2+\frac{4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]Pr(X> 3) = 1-0,135335283.\left(\frac{19}{3}\right)[/tex3]
Pr( X > 3 ) = 1 - 0,857123459
Logo,
Pr( X > 3 ) = 0,14287654
Ou
Pr( X > 3 ) ≈ 14,29%
(b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos 95% dos dias?
Seja k a nova capacidade. Atender a essa capacidade significa que X ≤ k . Como essa probabilidade tem que ser pelo menos 95%, temos que ter:
Pr( X ≤ k ) ≥ 0,95
Na tabela a seguir apresentamos a fdp de uma POI(2).
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A nova capacidade deverá ser de cinco ( 5 ) petroleiros, então , devemos acrescentar duas ( 2 )( pois já tínhamos três (3) ) , ou seja , precisamos ter duas(2) instalações a mais para atender os navios que chegarem em pelo menos 95% dos dias.
Uma "outra maneira" de se resolver a letra b).
Como queremos saber de quanto devem ser aumentadas as instalações portuárias para que todos os navios sejam recebidos em, pelo menos, 95% dos dias e temos que X é o nº de navios que chegam ao porto, vamos chamar de [tex3]x_{0}[/tex3] a quantidade de instalações no porto.Então, para que o porto aceite as embarcações, precisamos que X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] .E como se pede que a probalidade de receber os navios seja, no mínimo, 95%, queremos que:
Pr(X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] ) ≥ 95%
Pr(X ≤ [tex3]x_{0}[/tex3] ) ≥ 0,95
Como não conhecemos o valor de [tex3]x_{0}[/tex3] , precisamos encontrar um valor para [tex3]x_{0}[/tex3] em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%
Para isso, utilizaremos o método de tentativas.
De acordo com a letra a), encontramos Pr(X ≤ 3) = 0,857123459.
Assim, vamos tentar os próximos números lógicos X ≤ 4 , 5 ,... até encontrar um valor maior ou igual a 0,95. Temos que
Pr( X ≤ 4 ) = Pr( X ≤ 3 ) + Pr( X = 4 )
[tex3]Pr (X ≤ 4 ) = \frac{19e^{-2}}{3} + \frac{2e^{-2}}{3}[/tex3]
Pr( X ≤ 4 ) = 0,857123459 + 0,090223522
Pr( X ≤ 4 ) = 0,947346981
Perceba que para encontrar o valor de Pr( x ≤ 4 ) fizemos uma tentativa, e obtivemos como resultado o valor de 0,947346981, o que não serve , pois estamos procurando uma probabilidade maior ou igual a 0,95.
Vamos então a mais uma tentativa, vem;
Pr( X ≤ 5 ) = Pr( X ≤ 3 ) + Pr( X ≤ 4 ) + Pr( X = 5 )
[tex3]Pr (X ≤ 5 ) = \frac{19e^{-2}}{3} + \frac{2e^{-2}}{3}+\frac{4e^{-2}}{15}[/tex3]
Pr( X ≤ 5 ) = 0,857123459 + 0,090223522 + 0,036089408
Pr( X ≤ 5 ) = 0,983436389 Ôpa!
Observando que , para encontrar o valor de Pr( x ≤ 5 ) fizemos uma outra tentativa, e obtivemos como resultado o valor de 0,983436389, que é o que queríamos, pois estávamos procurando uma probabilidade maior ou igual a 0,95.
Conclusão:
Como a questão pede quantas instalações devem ser acrescentadas nas três (3) que já existem, então precisamos ter duas(2) instalações a mais para manobrar os navios em 95% dos dias.
Excelente estudo!
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