Calcule a derivada parcial de 1ª ordem usando a definição:
[tex3]z=5xy-x^{2}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Derivadas parciais de 1ª ordem Tópico resolvido
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30
13:53
Derivadas parciais de 1ª ordem
Última edição: Adonai (Seg 30 Set, 2019 13:54). Total de 1 vez.
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Cardoso1979 
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Set 2019
30
17:04
Re: Derivadas parciais de 1ª ordem
Observe
Uma solução:
f( x , y ) = z = 5xy - x²
Temos que;
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5(x+h).y-(x+h)^2-(5xy-x^2)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{5xy}+5yh-\cancel{x^2}-2xh-h^2-\cancel{5xy}+\cancel{x^2}}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5yh-2xh-h^2}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{h}(5y-2x-h)}{\cancel{h}}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}(5y-2x-h)=5y-2x-0[/tex3]
Logo,
[tex3]f_{x}(x,y)=5y-2x[/tex3]
Ainda,
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5x(y+h)-x^2-(5xy-x^2)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{5xy}+5xh-\cancel{x^2}-\cancel{5xy}+\cancel{x^2}}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5x\cancel{h}}{\cancel{h}}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}5x=5x[/tex3]
Logo,
[tex3]f_{y}(x,y)=5x[/tex3]
Nota
Dependendo do autor do livro, você poderá se deparar com a seguinte forma de derivada parcial:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow \ 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow \ 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}[/tex3]
Ou ainda;
[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
f( x , y ) = z = 5xy - x²
Temos que;
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5(x+h).y-(x+h)^2-(5xy-x^2)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{5xy}+5yh-\cancel{x^2}-2xh-h^2-\cancel{5xy}+\cancel{x^2}}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5yh-2xh-h^2}{h}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{h}(5y-2x-h)}{\cancel{h}}[/tex3]
[tex3]f_{x}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}(5y-2x-h)=5y-2x-0[/tex3]
Logo,
[tex3]f_{x}(x,y)=5y-2x[/tex3]
Ainda,
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5x(y+h)-x^2-(5xy-x^2)}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{\cancel{5xy}+5xh-\cancel{x^2}-\cancel{5xy}+\cancel{x^2}}{h}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}\frac{5x\cancel{h}}{\cancel{h}}[/tex3]
[tex3]f_{y}(x,y)=\lim_{h \rightarrow \ 0}5x=5x[/tex3]
Logo,
[tex3]f_{y}(x,y)=5x[/tex3]
Nota
Dependendo do autor do livro, você poderá se deparar com a seguinte forma de derivada parcial:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow \ 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow \ 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}[/tex3]
Ou ainda;
[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}[/tex3]
Bons estudos!
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