Determine a fórmula fechada da seguinte relação de recorrência, para n ≥ 1. Justifique.
Ensino Superior ⇒ Relação de Recorrência
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Set 2019
24
19:02
Re: Relação de Recorrência
[tex3]a_n = b_n + c_n[/tex3]
[tex3]b_n + c_n = nb_{n-1} + nc_{n-1} + 2^nn![/tex3]
[tex3]b_n = nb_{n-1} \implies b_n = n! \cdot k, k \in \mathbb R[/tex3]
[tex3]c_n = nc_{n-1} + 2^n n![/tex3]
[tex3]c_n = n! \cdot d_n[/tex3]
[tex3]n! d_n = n!d_{n-1} + n! 2^n \iff d_n = d_{n-1} + 2^n \iff d_n = r + \sum_{i=1}^n 2^i , r \in \mathbb R[/tex3]
[tex3]b_n + c_n = nb_{n-1} + nc_{n-1} + 2^nn![/tex3]
[tex3]b_n = nb_{n-1} \implies b_n = n! \cdot k, k \in \mathbb R[/tex3]
[tex3]c_n = nc_{n-1} + 2^n n![/tex3]
[tex3]c_n = n! \cdot d_n[/tex3]
[tex3]n! d_n = n!d_{n-1} + n! 2^n \iff d_n = d_{n-1} + 2^n \iff d_n = r + \sum_{i=1}^n 2^i , r \in \mathbb R[/tex3]
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