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Os primeiros ensaios sobre a formulação de modelos matemáticos para descrever a dinâmica de populações são datados dos séculos XVIII e XIX. Esses modelos tentam explicar as dinâmicas populacionais, observando as relações entre espécies e espécies predadoras dentro de um mesmo ambiente. Alfred Lotka (1880-1949) e Vito Volterra (1860-1940) propuseram, em 1925 e 1926, respectivamente e individualmente um modelo para a interação entre espécies. O modelo do matemático Vito Volterra pretendia descrever o observado aumento da população de uma espécie de peixe predador, e a consequente diminuição da população de uma espécie de peixe presa, no Mar Adriático, durante a Primeira Guerra Mundial. Um modelo similar a esse foi aplicado por 20 anos em uma represa com o peixe predador traíra e o peixe presa tilápia. Os dados tabulados, abaixo, referem-se à população de tilápias em alguns desses anos. (Tabela anexa)


Com base nessas informações, responda os subitens a seguir:

a) Utilizando um software apropriado, obtenha o polinômio que interpola os pontos tabulados para obter uma função que represente a dinâmica populacional de peixes presa. (Sugestão de softwares: Graphmatica e Geogebra).


b) Para verificar a precisão da aproximação obtida, imprima a tela do software, com os pontos da tabela locados e o gráfico da função polinomial. É importante que esse gráfico passe por todos os pontos. Caso isso não aconteça, altere tanto as opções de interpolação oferecidas pelo software, como o grau do polinômio, por exemplo, até obter uma melhor aproximação.


c) Imprima, em escala conveniente, e cole os gráficos das primeira e segunda derivadas e identifique os pontos críticos dessas funções fornecidos pelo software. Você usará essas informações nas próximos pedidos.

d) Determine os intervalos de tempo em que a população de tilápias está aumentando. Use as informações obtidas pelo software e justifique à luz dos gráficos das derivadas.

e) Visto que o aumento da população da espécie de peixe predador provoca diminuição da população ;ali! espécie de peixe presa, determine os intervalos de tempo em que a referida situação ocorre. Justifique à luz dos gráficos das derivadas.

f) Determine os instantes em que a população de tilápias para de crescer e começa a diminuir. Justifique à luz dos gráficos das primeira e segunda derivadas.

g) Considerando o intervalo de 20 anos do estudo, determine o tempo decorrido em anos, meses e dias, entre o início do estudo e o tempo em que ocorre o valor máximo, e o início do estudo e o tempo em que ocorre o valor mínimo da população de tilápias.

h) Determine a maior e a menor quantidade de tilápias existentes no lago, durante o período do estudo.

i) Um primeiro indicador de que a população de traíras está aumentando é o fato de que a taxa de crescimento da população de tilápias, crescente em alguns períodos, passa a ser decrescente em certos momentos. Determine os instantes em que isso ocorre. Justifique à luz dos gráficos das derivadas.

j) Identifique os períodos em que a taxa de variação da população de presas está crescendo, provocando a desaceleração da velocidade de crescimento dos predadores. Justifique à luz do estudo das derivadas.