Ensino Superior ⇒ Integral indefinida subst Tópico resolvido

[Adonai]

[tex3]\int\limits_{}^{}(\sqrt{x^{2}+2x^{4}})dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}(\sqrt{x^{2}+2x^{4}})dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2+2x^4}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2+2x^4}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2(1+2x^2)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2(1+2x^2)}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}x\sqrt{1+2x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}x\sqrt{1+2x^2}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1+2x^2}xdx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1+2x^2}xdx=[/tex3]

Faça a substituição u = 1 + 2x² [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

du = 4xdx [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

xdx = [tex3]\frac{du}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{4}[/tex3]

Então,


[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{u}\frac{du}{4}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{u}\frac{du}{4}=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}u^{\frac{1}{2}}du=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}u^{\frac{1}{2}}du=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4}.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{4}.\frac{2.u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}.\frac{2.u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{6}.u^{\frac{3}{2}}+C=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{6}.u^{\frac{3}{2}}+C=[/tex3]

Mas, u = 1 + 2x² , daí


[tex3]\frac{1}{6}.\sqrt{(1+2x^2)^3}+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{6}.\sqrt{(1+2x^2)^3}+C[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2+2x^4}=\frac{1}{6}.\sqrt{(1+2x^2)^3}+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{x^2+2x^4}=\frac{1}{6}.\sqrt{(1+2x^2)^3}+C[/tex3]

Bons estudos!