Ensino Superior ⇒ Equação diferencial não homogênea Tópico resolvido

[ajbernrdi]

A Soma dos coeficientes da solução particular da equação diferencial y"+9y=(x²+1)e^3x, é exatamente?

Resposta

---

( )13/81

( )7/25

( )13/162

( )13/27

( )3/81

[Cardoso1979]

Vou tomar uma para ver se melhora o meu raciocínio

[Cardoso1979]

Euuuuureca!

R.[tex3]\frac{13}{162}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{13}{162}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A solução particular é do tipo:

[tex3]y_{p}=(A+Bx+Cx^2).e^{3x}[/tex3]

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[tex3]y_{p}=(A+Bx+Cx^2).e^{3x}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]y_{p}=Ae^{3x}+Bxe^{3x}+Cx^2e^{3x}\ (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{p}=Ae^{3x}+Bxe^{3x}+Cx^2e^{3x}\ (I)[/tex3]

Então,

[tex3]y'_{p}=3Ae^{3x}+Be^{3x}+3Bxe^{3x}+2Cxe^{3x}+3Cx^2e^{3x}[/tex3]

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[tex3]y'_{p}=3Ae^{3x}+Be^{3x}+3Bxe^{3x}+2Cxe^{3x}+3Cx^2e^{3x}[/tex3]

Ainda,

[tex3]y''_{p}=9Ae^{3x}+3Be^{3x}+3Be^{3x}+9Bxe^{3x}+2Ce^{3x}+6Cxe^{3x}+6Cxe^{3x}+9Cx^2e^{3x}[/tex3]

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[tex3]y''_{p}=9Ae^{3x}+3Be^{3x}+3Be^{3x}+9Bxe^{3x}+2Ce^{3x}+6Cxe^{3x}+6Cxe^{3x}+9Cx^2e^{3x}[/tex3]

Arrumando...

[tex3]y''_{p}=9Cx^2e^{3x}+9Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+9Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x} \ (II)[/tex3]

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[tex3]y''_{p}=9Cx^2e^{3x}+9Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+9Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x} \ (II)[/tex3]

Substituindo ( I ) e ( I I ) na EDO dada, temos que

[tex3]9Cx^2e^{3x}+9Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+9Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x}+9Ae^{3x}+9Bxe^{3x}+9Cx^2e^{3x}=(x^2+1).e^{3x}[/tex3]

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[tex3]9Cx^2e^{3x}+9Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+9Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x}+9Ae^{3x}+9Bxe^{3x}+9Cx^2e^{3x}=(x^2+1).e^{3x}[/tex3]

[tex3]18Cx^2e^{3x}+18Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+18Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x}=(x^2+1).e^{3x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18Cx^2e^{3x}+18Bxe^{3x}+12Cxe^{3x}+18Ae^{3x}+6Be^{3x}+2Ce^{3x}=(x^2+1).e^{3x}[/tex3]

[tex3](18Cx^2+18Bx+12Cx+18A+6B+2C).{\cancel e^{3x}}=(x^2+1).{\cancel e^{3x}}[/tex3]

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[tex3](18Cx^2+18Bx+12Cx+18A+6B+2C).{\cancel e^{3x}}=(x^2+1).{\cancel e^{3x}}[/tex3]

[tex3]18C.x^2+(18B+12C).x+(18A+6B+2C)=1.x^2+0.x+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18C.x^2+(18B+12C).x+(18A+6B+2C)=1.x^2+0.x+1[/tex3]

Comparando os termos, resulta no seguinte sistema;

[tex3]\begin{cases}
18C=1→C=\frac{1}{18} \\
18B+12C=0→18B=-12C→B=-\frac{2C}{3}→B=-\frac{1}{27}\\
18A+6B+2C=1→18A-\frac{6}{27}+\frac{2}{18}=1→18A=\frac{2}{9}-\frac{1}{9}+1→18A=\frac{10}{9}→A=\frac{5}{9.9}→A=\frac{5}{81}\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
18C=1→C=\frac{1}{18} \\
18B+12C=0→18B=-12C→B=-\frac{2C}{3}→B=-\frac{1}{27}\\
18A+6B+2C=1→18A-\frac{6}{27}+\frac{2}{18}=1→18A=\frac{2}{9}-\frac{1}{9}+1→18A=\frac{10}{9}→A=\frac{5}{9.9}→A=\frac{5}{81}\end{cases}[/tex3]

Assim,

A + B + C =

[tex3]\frac{5}{81}-\frac{1}{27}+\frac{1}{18}=\frac{10-6+9}{162}=\frac{13}{162}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{81}-\frac{1}{27}+\frac{1}{18}=\frac{10-6+9}{162}=\frac{13}{162}[/tex3]

Portanto, a soma dos coeficientes da solução particular da equação diferencial dada vale [tex3]\frac{13}{162}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{13}{162}[/tex3]

.


Nota

A título de curiosidade , a solução geral da EDO dada é:

[tex3]y(x)=C_{1}cos (3x)+C_{2}sen(3x)+\frac{5}{81}e^{3x}-\frac{1}{27}xe^{3x}+\frac{1}{18}x^2e^{3x}[/tex3]

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[tex3]y(x)=C_{1}cos (3x)+C_{2}sen(3x)+\frac{5}{81}e^{3x}-\frac{1}{27}xe^{3x}+\frac{1}{18}x^2e^{3x}[/tex3]

Obs. A outra maneira de resolver essa EDO, seria através da variação dos parâmetros, eu não tentei mais se alguém quiser tentar, sintam-se a vontade.



Bons estudos!