Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[PUDIMMARCOS]

Sendo [tex3]E[/tex3]

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[tex3]E[/tex3]

a porção da esfera unitária [tex3]x^2+y^2+z^2\leq 1[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2+z^2\leq 1[/tex3]

que fica no primeiro octante, calcule seu volume utilizando integração tripla. [tex3]\int\int\int\limits_{E} dV[/tex3]

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[tex3]\int\int\int\limits_{E} dV[/tex3]

.

Resposta = [tex3]\pi/6[/tex3]

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[tex3]\pi/6[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como o sólido está situado no primeiro octante, podemos concluir que ;

[tex3]0≤\theta ≤\frac{π}{2}[/tex3]

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[tex3]0≤\theta ≤\frac{π}{2}[/tex3]

e

[tex3]0≤\phi ≤\frac{π}{2}[/tex3]

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[tex3]0≤\phi ≤\frac{π}{2}[/tex3]

Por outro lado,

x² + y² + z² = 1

[tex3]\rho^2 =1→\rho =1[/tex3]

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[tex3]\rho^2 =1→\rho =1[/tex3]

Logo,

[tex3]0≤\rho≤1 [/tex3]

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[tex3]0≤\rho≤1 [/tex3]

Assim, o volume do sólido em coordenadas esféricas é dado por

[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\rho^2.sen(\phi ) d\rho d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\rho^2.sen(\phi ) d\rho d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{\rho^3 }{3}]_{0}^{1}.sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{\rho^3 }{3}]_{0}^{1}.sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{1^3 }{3}-\frac{0^3}{3}].sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{1^3 }{3}-\frac{0^3}{3}].sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}sen(\phi ) d\phi d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[-cos(\phi )]_{0}^{\frac{π}{2}} d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[-cos(\phi )]_{0}^{\frac{π}{2}} d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[-cos\left(\frac{π}{2}\right)+cos (0)]d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[-cos\left(\frac{π}{2}\right)+cos (0)]d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(-0+1)d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(-0+1)d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}1 \ d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}1 \ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.[\theta ]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.[\theta ]_{0}^{\frac{π}{2}}[/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{3}.\left(\frac{π}{2}-0\right)[/tex3]

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[tex3]V=\frac{1}{3}.\left(\frac{π}{2}-0\right)[/tex3]

Portanto,

[tex3]V=\frac{π}{6} \ u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\frac{π}{6} \ u.v.[/tex3]

Bons estudos!