Para campos vetoriais conservativos, existe uma função escalar f, cujo [tex3]\vec{VF} = \vec{F}[/tex3]
,chamamos esta função potencial,Assim, o valor da função potencial de [tex3]\vec{F}[/tex3]
(x,y,z)=[tex3]y^{2}[/tex3]
cosZ [tex3]\vec{i}\div [/tex3]
(2xy cosZ [tex3]\div [/tex3]
3 [tex3]y^{2}[/tex3]
)[tex3]\vec{j}[/tex3]
-x [tex3]y^{2}[/tex3]
senZ [tex3]\vec{k}[/tex3]
no ponto (1,-2,0) é :
Obs: C é uma constante.
a) -3 [tex3]\div [/tex3]
C
b) -4 [tex3]\div [/tex3]
C
c) 1 [tex3]\div [/tex3]
C
d) 6 [tex3]\div [/tex3]
C
e) -1 [tex3]\div [/tex3]
C
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Ensino Superior ⇒ Calculo Diferencial e Integral III Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Set 2019
21
13:26
Re: Calculo Diferencial e Integral III
Olá! Danilo308, mais tarde postarei uma solução 
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Cardoso1979
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Set 2019
21
16:17
Re: Calculo Diferencial e Integral III
Observe
Uma solução:
Pela definição de função potencial, temos que:
[tex3]\vec{F}=\bigtriangledown f(x,y,z)[/tex3]
Sendo que [tex3]\bigtriangledown [/tex3] é esse operador aqui [tex3]\bigtriangledown =\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)[/tex3]
Então o que o enunciado quer é que achemos a função f( x , y , z ) de forma que
[tex3]\vec{F} =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)[/tex3]
Ou seja,
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=y^2cos(z)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+3y^2[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z)[/tex3]
Iniciando pela primeira equação
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=y^2cos(z)[/tex3] →
f( x , y , z ) = ∫y²cos(z) dx
Como y²cos (z) é uma constante em relação a x , resulta que;
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + A( y , z )
Agora, iremos utilizar as outras equações para descobrir quem é esse termo A( y , z ) . A segunda equação é:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+3y^2 \ (I)[/tex3]
Temos ainda;
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + A( y , z )
Derivando essa expressão em relação a y, fica;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+\frac{\partial A}{\partial y} \ (II)[/tex3]
Igualando ( I ) e ( I I ) , temos:
[tex3]\cancel{2xycos(z)}+\frac{\partial A}{\partial y} =\cancel{2xycos(z)}+3y^2[/tex3]
[tex3]\frac{\partial A}{\partial y} =3y^2[/tex3] →
A( y , z ) = ∫3y² dy → A( y , z ) = y³ + B( x , z )
Podemos então concluir que
A( y , z ) = y³ + B( x , z )
Então,
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z )
Utilizaremos a terceira equação para descobrir o valor de B( x , z ), que é
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z) \ (III)[/tex3]
Como já sabemos que f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z ) , basta derivarmos essa expressão em relação a z e igualar a ( I I I ) , fica;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z)+\frac{\partial B}{\partial z}[/tex3]
Daí;
[tex3]\cancel{-xy^2sen(z)}+\frac{\partial B}{\partial z} =\cancel{-xy^2sen(z)}[/tex3]
[tex3]\frac{\partial B}{\partial z} =0[/tex3] →
B( x , z ) = ∫0 dz → B( x , z ) = C
Logo,
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z )
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + C
Assim, o valor da função potencial no ponto ( 1 , - 2 , 0 ) é
f( 1 , - 2 , 0 ) = 1.( - 2 )²cos ( 0 ) + ( - 2 )^3 + C
f( 1 , - 2 , 0 ) = 4.1 - 8 + C
f( 1 , - 2 , 0 ) = 4 - 8 + C
Portanto, f( 1 , - 2 , 0 ) = - 4 + C , alternativa b).
Nota
[tex3]rot(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} \ , \ \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} \ , \ \frac{\partial
F_{2} }{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)[/tex3]
[tex3]rot(\vec{F})=(-2xysen(z)+2xysen(z) \ , \ -y^2sen(z)+y^2sen(z) \ , \ 2ycos(z)-2ycos(z))[/tex3]
[tex3]rot(\vec{F})=(0 \ , \ 0 \ , \ 0)[/tex3]
O que comprova que o campo vetorial é conservativo , e portanto , existe a função potencial , a qual encontramos acima! Porém, não é necessário fazer esses cálculos , pois , o autor já afirma na pergunta em questão
Bons estudos!
Uma solução:
Pela definição de função potencial, temos que:
[tex3]\vec{F}=\bigtriangledown f(x,y,z)[/tex3]
Sendo que [tex3]\bigtriangledown [/tex3] é esse operador aqui [tex3]\bigtriangledown =\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)[/tex3]
Então o que o enunciado quer é que achemos a função f( x , y , z ) de forma que
[tex3]\vec{F} =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)[/tex3]
Ou seja,
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=y^2cos(z)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+3y^2[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z)[/tex3]
Iniciando pela primeira equação
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=y^2cos(z)[/tex3] →
f( x , y , z ) = ∫y²cos(z) dx
Como y²cos (z) é uma constante em relação a x , resulta que;
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + A( y , z )
Agora, iremos utilizar as outras equações para descobrir quem é esse termo A( y , z ) . A segunda equação é:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+3y^2 \ (I)[/tex3]
Temos ainda;
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + A( y , z )
Derivando essa expressão em relação a y, fica;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2xycos(z)+\frac{\partial A}{\partial y} \ (II)[/tex3]
Igualando ( I ) e ( I I ) , temos:
[tex3]\cancel{2xycos(z)}+\frac{\partial A}{\partial y} =\cancel{2xycos(z)}+3y^2[/tex3]
[tex3]\frac{\partial A}{\partial y} =3y^2[/tex3] →
A( y , z ) = ∫3y² dy → A( y , z ) = y³ + B( x , z )
Podemos então concluir que
A( y , z ) = y³ + B( x , z )
Então,
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z )
Utilizaremos a terceira equação para descobrir o valor de B( x , z ), que é
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z) \ (III)[/tex3]
Como já sabemos que f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z ) , basta derivarmos essa expressão em relação a z e igualar a ( I I I ) , fica;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial z}=-xy^2sen(z)+\frac{\partial B}{\partial z}[/tex3]
Daí;
[tex3]\cancel{-xy^2sen(z)}+\frac{\partial B}{\partial z} =\cancel{-xy^2sen(z)}[/tex3]
[tex3]\frac{\partial B}{\partial z} =0[/tex3] →
B( x , z ) = ∫0 dz → B( x , z ) = C
Logo,
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + B( x , z )
f( x , y , z ) = xy²cos (z) + y³ + C
Assim, o valor da função potencial no ponto ( 1 , - 2 , 0 ) é
f( 1 , - 2 , 0 ) = 1.( - 2 )²cos ( 0 ) + ( - 2 )^3 + C
f( 1 , - 2 , 0 ) = 4.1 - 8 + C
f( 1 , - 2 , 0 ) = 4 - 8 + C
Portanto, f( 1 , - 2 , 0 ) = - 4 + C , alternativa b).
Nota
[tex3]rot(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} \ , \ \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} \ , \ \frac{\partial
F_{2} }{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)[/tex3]
[tex3]rot(\vec{F})=(-2xysen(z)+2xysen(z) \ , \ -y^2sen(z)+y^2sen(z) \ , \ 2ycos(z)-2ycos(z))[/tex3]
[tex3]rot(\vec{F})=(0 \ , \ 0 \ , \ 0)[/tex3]
O que comprova que o campo vetorial é conservativo , e portanto , existe a função potencial , a qual encontramos acima! Porém, não é necessário fazer esses cálculos , pois , o autor já afirma na pergunta em questão
Bons estudos!
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