Ensino Superior ⇒ cálculo 3

[fribeiro]

Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem a tampa e com um dado volume, sendo usada a
menor quantidade de material possível em sua fabricação

[Estudanomade]

V = x*y*z
z = V/(x*y) Eq. 1

Área Superficial Total
S = xy + 2yz + 2xz Eq. 2

Substituindo Eq 1 em 2, temos:

S = xy + 2V/x + 2V/y (condições x>0; y>0 e z>0)

Como queremos a superfície mínima deveremos derivar a função S em função de x e depois em y.

DS/Dx = y - 2V/x² --> y - 2v/x² = 0 --> x²y = 2V Eq. 3
DS/Dy = x - 2V/y² --> x - 2V/y² = 0 --> xy² = 2V Eq. 4

Eq. 3 menos a Eq. 4 dará zero:

x²y - xy² = 0
xy(x - y) = 0 Eq. 5

xy não pode ser zero, pois isso nos daria um lado igual a zero, logo: x=y
Então: x²y=x³
x³=2V
x=y= ³V2v Raiz cúbica de 2V

z = 2V/(x*y)
z = 2v/(2v)^2/3