Ensino Superior ⇒ calculo de área utilizando integral Tópico resolvido

[thetruth]

1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, pelo eixo x e pelo gráfico de y = [tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

+ 2x + 5.

o exercício pede para eu desenhar o conjunto A e calcular sua área

eu calculei a integral, substitui o x pelos pontos e depois subtrai.

acabou dando [tex3]\frac{824}{3} - \frac{17}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{824}{3} - \frac{17}{3}[/tex3]

= 269. tá certo o calculo da área? se sim, como eu desenho o conjunto A?

[Planck]

Olá thetruth,

Primeiramente, temos a seguinte construção no plano cartesiano:

geogebra-export (2).png (41.5 KiB) Exibido 1348 vezes

Desse modo, vamos integrar a função [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

de [tex3]-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1[/tex3]

até [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

. Portanto, temos que:

[tex3]\int^{2}_{-1} (x^2 + 2x +5) \, dx = \int^{2}_{-1} x^2 \,dx + \int^{2}_{-1} 2x\, dx + \int^{2}_{-1} 5\, dx \, \, \implies \, \, \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int^{2}_{-1} (x^2 + 2x +5) \, dx = \int^{2}_{-1} x^2 \,dx + \int^{2}_{-1} 2x\, dx + \int^{2}_{-1} 5\, dx \, \, \implies \, \, \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x[/tex3]

Vamos adicionar os limites de integração:

[tex3]\left(\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Biggr|_{-1}^{2} \, \, \implies \, \, \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Biggr|_{-1}^{2} \, \, \implies \, \, \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right)[/tex3]

Com isso, obtemos que:

[tex3]\left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right) = \frac{8}{3} + 14 - \left( - \frac{13}{3} \right) \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{A} = 7 + 14 = 21}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right) = \frac{8}{3} + 14 - \left( - \frac{13}{3} \right) \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{A} = 7 + 14 = 21}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

[thetruth]

Olá thetruth,

Primeiramente, temos a seguinte construção no plano cartesiano:

geogebra-export (2).png

Desse modo, vamos integrar a função [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

de [tex3]-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1[/tex3]

até [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

. Portanto, temos que:

[tex3]\int^{2}_{-1} (x^2 + 2x +5) \, dx = \int^{2}_{-1} x^2 \,dx + \int^{2}_{-1} 2x\, dx + \int^{2}_{-1} 5\, dx \, \, \implies \, \, \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int^{2}_{-1} (x^2 + 2x +5) \, dx = \int^{2}_{-1} x^2 \,dx + \int^{2}_{-1} 2x\, dx + \int^{2}_{-1} 5\, dx \, \, \implies \, \, \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x[/tex3]

Vamos adicionar os limites de integração:

[tex3]\left(\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Biggr|_{-1}^{2} \, \, \implies \, \, \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \Biggr|_{-1}^{2} \, \, \implies \, \, \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right)[/tex3]

Com isso, obtemos que:

[tex3]\left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right) = \frac{8}{3} + 14 - \left( - \frac{13}{3} \right) \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{A} = 7 + 14 = 21}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 5\cdot 2 \right) - \left(\frac{-1^3}{3} + -1^2 + 5\cdot -1 \right) = \frac{8}{3} + 14 - \left( - \frac{13}{3} \right) \, \, \implies \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {\text{A} = 7 + 14 = 21}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

puxa eu fiz tudo certo mas em vez de 2 eu calculei como se fosse 8 , não sei porque kkk.


você poderia me explicar como chegou nesse gráfico??

[Planck]

você poderia me explicar como chegou nesse gráfico??

Primeiro fiz um esboço no papel mesmo, coloquei primeiro as retas que passam por -1 e 2. Após isso, esbocei a parábola, utilizando o vértice e o ponto onde ela toca o eixo y. Além disso, quando procuramos as raizes dessa parábola, percebem que ela possui raizes complexas, ou seja, não toca o eixo x.

[thetruth]

você poderia me explicar como chegou nesse gráfico??

Primeiro fiz um esboço no papel mesmo, coloquei primeiro as retas que passam por -1 e 2. Após isso, esbocei a parábola, utilizando o vértice e o ponto onde ela toca o eixo y. Além disso, quando procuramos as raizes dessa parábola, percebem que ela possui raizes complexas, ou seja, não toca o eixo x.

entendi