Ensino Superior

Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais, que nada mais são do que pontos dados da função-solução e da sua derivada primeira. Assim, seja a equação diferencial: 2y^''-7y^'+3y=0, com y(0) = 5 e y’(0) = -5. Pode-se afirmar que o valor aproximado de y(-2), é:

Resposta

( ) 2,9

( ) 2,0

( ) 4,0

( ) 1,5

( ) 3,5

Observe

Solução:

2y'' - 7y' + 3y = 0

Então,

2r² - 7r + 3 = 0

∆ = 49 - 24 = 25

As raízes são [tex3]r_{1}=3[/tex3] , [tex3]r_{2}=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs. Como ∆ > 0 , a solução tem a seguinte característica [tex3]y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}[/tex3] .

Então,

[tex3]y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{\frac{x}{2}}[/tex3]

Daí,

[tex3]y(0)=C_{1}e^{3.0}+C_{2}e^{\frac{0}{2}}[/tex3]

[tex3]5=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}[/tex3]

[tex3]C_{1}.1+C_{2}.1=5[/tex3]

[tex3]C_{1}+C_{2}=5 \ (I)[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]y'(x)=3C_{1}e^{3x}+\frac{1}{2}C_{2}e^{\frac{x}{2}}[/tex3]

[tex3]y'(0)=3C_{1}e^{3.0}+\frac{1}{2}C_{2}e^{\frac{0}{2}}[/tex3]

[tex3]y'(0)=3C_{1}e^{0}+\frac{1}{2}C_{2}e^{0}[/tex3]

[tex3]-5=3C_{1}.1+\frac{1}{2}C_{2}.1[/tex3]

[tex3]3C_{1}+\frac{1}{2}C_{2}=-5[/tex3]

[tex3]6C_{1}+C_{2}=-10 \ (II)[/tex3]

De ( I ) e ( I I ) ,vem;

[tex3]\begin{cases}
C_{1}+C_{2}=5 \\
6C_{1}+C_{2}=-10
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
-C_{1}-C_{2}=-5 \\
6C_{1}+C_{2}=-10
\end{cases}[/tex3]
-------------------------------
[tex3]5C_{1}=-15→C_{1}=-3[/tex3]

Substituindo [tex3]C_{1}=-3[/tex3] em ( I ), fica;

[tex3]-3+C_{2}=5 →C_{2} = 8 [/tex3]

Assim,

[tex3]y(x)=-3e^{3x}+8e^{\frac{x}{2}}[/tex3]

[tex3]y(-2)=-3e^{3.(-2)}+8e^{\frac{-2}{2}}[/tex3]

[tex3]y(-2)=-3e^{-6}+8e^{-1}[/tex3]

y( - 2 ) = - 0,01 + 2,94 = 2,93

y( - 2 ) ≈ 2,9

Portanto, o valor aproximado de y( - 2 ) é 2,9.

Bons estudos!

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