Ensino Superiorintegral dupla - troca de ordem de integração Tópico resolvido

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Elzafrozen
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integral dupla - troca de ordem de integração

Mensagem não lida por Elzafrozen »

Defina as integrais iterada para ambas as ordens de integração . Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil.
[tex3]\int\limits_{}^{} y dA [/tex3] , na região D limitada por y=x-2, x=y².
Resposta

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}y dydx + \int\limits_{1}^{4}\int\limits_{x-2}^{\sqrt{x}}ydydx = \int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y²}^{y+2}ydxdy[/tex3] = 9/4




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Cardoso1979
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Set 2019 21 23:41

Re: integral dupla - troca de ordem de integração

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Olá Elzafrozen, amanhã resolverei está questão, agora bateu um sono 😴


Até amanhã!




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Cardoso1979
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Set 2019 22 23:29

Re: integral dupla - troca de ordem de integração

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:
15692037391826293439853472547209.jpg
15692037391826293439853472547209.jpg (17.9 KiB) Exibido 1689 vezes



Temos que

x = y² → y² = x → y = ± √x

Ainda;

y = x - 2 → x = y + 2


Analisando o gráfico , podemos concluir que os limites de integração ( para calcular a integral dupla primeiramente em relação a x ) são:

y² ≤ x ≤ y + 2 e - 1 ≤ y ≤ 2

Assim,

[tex3]\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}y \ dxdy=[/tex3]

[tex3]y.\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}1 \ dxdy=[/tex3]

[tex3]y.\int\limits_{-1}^{2}[x]_{y^2}^{y+2}dy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-1}^{2}y.(y+2-y^2)dy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-1}^{2}(y^2+2y-y^3)dy=[/tex3]

[tex3][\frac{y^3}{3}+y^2-\frac{y^4}{4}]_{-1}^{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{8}{3}+4-4+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{4}=\frac{9}{3}-1+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}[/tex3]

Portanto,[tex3]\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}y \ dxdy=\frac{9}{4}[/tex3] .




Analisando o gráfico ainda, podemos extrair os limites de integração, para calcularmos a integral dupla primeiramente em relação a y , só que nesse caso devemos fazer a montagem com a soma de duas integrais duplas.

A primeira integral dupla terá os seguintes limites de integração:

- √x ≤ y ≤ √x e 0 ≤ x ≤ 1

Já a segunda integral dupla terá os seguintes limites de integração:

x - 2 ≤ y ≤ √x e 1 ≤ x ≤ 4


Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}y \ dydx \ + \ \int\limits_{1}^{4}\int\limits_{x-2}^{\sqrt{x}}y \ dydx=\frac{9}{4}[/tex3]


Detalhes adicionais

Para encontrar os pontos de Interseções, é necessário, obviamente, efetuar a Interseção entre as funções x = y² e y = x - 2👍, você irá obter:

( 1 , - 1 ) e ( 4 , 2 )




Bons estudos!




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