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Solução:
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Temos que
x = y² → y² = x → y = ± √x
Ainda;
y = x - 2 → x = y + 2
Analisando o gráfico , podemos concluir que os limites de integração ( para calcular a integral dupla primeiramente em relação a x ) são:
y² ≤ x ≤ y + 2 e - 1 ≤ y ≤ 2
Assim,
[tex3]\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}y \ dxdy=[/tex3]
[tex3]y.\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}1 \ dxdy=[/tex3]
[tex3]y.\int\limits_{-1}^{2}[x]_{y^2}^{y+2}dy=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{-1}^{2}y.(y+2-y^2)dy=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{-1}^{2}(y^2+2y-y^3)dy=[/tex3]
[tex3][\frac{y^3}{3}+y^2-\frac{y^4}{4}]_{-1}^{2}=[/tex3]
[tex3]\frac{8}{3}+4-4+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{4}=\frac{9}{3}-1+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}[/tex3]
Portanto,[tex3]\int\limits_{-1}^{2}\int\limits_{y^2}^{y+2}y \ dxdy=\frac{9}{4}[/tex3]
.
Analisando o gráfico ainda, podemos extrair os limites de integração, para calcularmos a integral dupla primeiramente em relação a y , só que nesse caso devemos fazer a montagem com a soma de duas integrais duplas.
A primeira integral dupla terá os seguintes limites de integração:
- √x ≤ y ≤ √x e 0 ≤ x ≤ 1
Já a segunda integral dupla terá os seguintes limites de integração:
x - 2 ≤ y ≤ √x e 1 ≤ x ≤ 4
Assim,
[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}y \ dydx \ + \ \int\limits_{1}^{4}\int\limits_{x-2}^{\sqrt{x}}y \ dydx=\frac{9}{4}[/tex3]
Detalhes adicionais
Para encontrar os pontos de Interseções, é necessário, obviamente, efetuar a Interseção entre as funções x = y² e y = x - 2
, você irá obter:
( 1 , - 1 ) e ( 4 , 2 )
Bons estudos!