Ensino Superior ⇒ integral utilizando frações parciais Tópico resolvido

[thetruth]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^3-4x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^3-4x^2}[/tex3]

alguém poderia me ajudar a resolver essa?

cheguei até aqui [tex3]\frac{ax(x-4)+b(x-4) + c(x^2)}{x^2.(x-4)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ax(x-4)+b(x-4) + c(x^2)}{x^2.(x-4)}[/tex3]

achei o b e o c mas não sei como acho o valor de a

[thetruth]

alguém poderia ajudar???

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^3-4x^2}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^3-4x^2}=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=[/tex3]

Então,

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{Ax^2+Bx(x-4)+C(x-4)}{x^2(x-4)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{Ax^2+Bx(x-4)+C(x-4)}{x^2(x-4)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{Ax^2+Bx^2-4xB+Cx-4C}{x^2(x-4)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2(x-4)}=\frac{Ax^2+Bx^2-4xB+Cx-4C}{x^2(x-4)}[/tex3]

[tex3]\frac{0.x^2+0.x+1}{x^2(x-4)}=\frac{(A+B).x^2+(C-4B).x-4C}{x^2(x-4)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{0.x^2+0.x+1}{x^2(x-4)}=\frac{(A+B).x^2+(C-4B).x-4C}{x^2(x-4)}[/tex3]

Temos o seguinte sistema;

[tex3]\begin{cases}
A+B=0→A=-B→A=\frac{1}{16} \\
C-4B=0→4B=-\frac{1}{4}→B=-\frac{1}{16} \\
-4C=1→C=-\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
A+B=0→A=-B→A=\frac{1}{16} \\
C-4B=0→4B=-\frac{1}{4}→B=-\frac{1}{16} \\
-4C=1→C=-\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{16}}{x-4}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{16}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{16}}{x-4}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{16}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x^2}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-4}dx-\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx-\frac{1}{4}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-4}dx-\frac{1}{16}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx-\frac{1}{4}\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\frac{1}{16}ln|x-4|-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{4x}+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2(x-4)}dx=\frac{1}{16}ln|x-4|-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{4x}+C[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^3-4x^2}dx=\frac{1}{16}ln|x-4|-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{4x}+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^3-4x^2}dx=\frac{1}{16}ln|x-4|-\frac{1}{16}ln|x|+\frac{1}{4x}+C[/tex3]

Bons estudos!