Ensino Superior

Mensagem não lida por **ajbernrdi** » 28 Ago 2019, 22:00

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Se a condição inicial y(π)=0 atende a solução da E.D. de primeira ordem: x y’ = y + x² sen x. Então, o valor aproximado de y (π/3), é:
( a ) - 1,6 ( b ) 0,0 ( c ) - 1,0 ( d ) 2,0 ( e ) - 2,4

Resposta

( )

Observe

Solução:

x.y’ = y + x² sen (x)

x.y' - y = x².sen(x)

Divida tudo por x, resulta que;

[tex3]y'-\frac{1}{x}.y=xsen(x)[/tex3]

Onde p( x ) = [tex3]-\frac{1}{x}[/tex3] e q( x ) = x.sen(x) , então;

[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}p(x) \ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}\ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-lnx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{lnx^{-1}}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=x^{-1}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=\frac{1}{x}[/tex3]

Assim,

[tex3]y(x)=\frac{1}{\mu (x)}.[\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx][/tex3]

[tex3]v=\frac{1}{\frac{1}{x}}[\int\limits_{}^{}\frac{1}{\cancel{x}}.\cancel{x}.sen(x)\ dx][/tex3]

[tex3]y(x)=x.[\int\limits_{}^{}sen(x) \ dx][/tex3]

[tex3]y(x)=x.[-cos(x) \ + \ C][/tex3]

[tex3]y(x)=Cx \ - \ xcos(x)[/tex3]

Como y( π ) = 0 , temos

y( π )= C.π - π.cos( π )

0 = C.π - π.( -1 )

C.π + π.1 = 0

( C + 1 ).π = 0

C + 1 = 0

C = - 1

Logo,

[tex3]y(x)=-x \ - \ xcos(x)[/tex3]

Por fim, vamos determinar [tex3]y(x)=\left(\frac{π}{3}\right)[/tex3] , vem;

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{3}.cos\left(\frac{π}{3}\right)[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{3}.\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=\frac{-2π-π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{3π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{3,14}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-1,57[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)≈-1,6[/tex3]

Portanto,[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)≈-1,6[/tex3] , alternativa ( a ).

Bons estudos!

Ensino Superior ⇒ Equação diferencial de primeira ordem Tópico resolvido

Equação diferencial de primeira ordem

Re: Equação diferencial de primeira ordem

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