Ensino SuperiorEquação diferencial de primeira ordem Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
ajbernrdi
Junior
Mensagens: 11
Registrado em: Qua 14 Ago, 2019 09:54
Última visita: 24-09-19
Ago 2019 28 22:00

Equação diferencial de primeira ordem

Mensagem não lida por ajbernrdi »

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Se a condição inicial y(π)=0 atende a solução da E.D. de primeira ordem: x y’ = y + x² sen x. Então, o valor aproximado de y (π/3), é:
( a ) - 1,6 ( b ) 0,0 ( c ) - 1,0 ( d ) 2,0 ( e ) - 2,4
Resposta

( )

Última edição: ajbernrdi (Qua 28 Ago, 2019 22:01). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Ago 2019 30 06:02

Re: Equação diferencial de primeira ordem

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

x.y’ = y + x² sen (x)

x.y' - y = x².sen(x)

Divida tudo por x, resulta que;

[tex3]y'-\frac{1}{x}.y=xsen(x)[/tex3]

Onde p( x ) = [tex3]-\frac{1}{x}[/tex3] e q( x ) = x.sen(x) , então;

[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}p(x) \ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}\ dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-lnx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{lnx^{-1}}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=x^{-1}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=\frac{1}{x}[/tex3]


Assim,

[tex3]y(x)=\frac{1}{\mu (x)}.[\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx][/tex3]

[tex3]v=\frac{1}{\frac{1}{x}}[\int\limits_{}^{}\frac{1}{\cancel{x}}.\cancel{x}.sen(x)\ dx][/tex3]

[tex3]y(x)=x.[\int\limits_{}^{}sen(x) \ dx][/tex3]

[tex3]y(x)=x.[-cos(x) \ + \ C][/tex3]

[tex3]y(x)=Cx \ - \ xcos(x)[/tex3]

Como y( π ) = 0 , temos

y( π )= C.π - π.cos( π )

0 = C.π - π.( -1 )

C.π + π.1 = 0

( C + 1 ).π = 0

C + 1 = 0

C = - 1

Logo,

[tex3]y(x)=-x \ - \ xcos(x)[/tex3]


Por fim, vamos determinar [tex3]y(x)=\left(\frac{π}{3}\right)[/tex3] , vem;

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{3}.cos\left(\frac{π}{3}\right)[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{3}.\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{3} \ - \ \frac{π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=\frac{-2π-π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{3π}{6}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{π}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-\frac{3,14}{2}[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)=-1,57[/tex3]

[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)≈-1,6[/tex3]


Portanto,[tex3]y\left(\frac{π}{3}\right)≈-1,6[/tex3] , alternativa ( a ).





Bons estudos!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”